Tài liệu học tập Toán 12 - Chương I: Khối đa diện - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi

Nội dung tài liệu: Tài liệu học tập Toán 12 - Chương I: Khối đa diện - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi

1. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Vấn đề 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 A. QUAN HỆ SONG SONG §1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Định nghĩa và tính chất a,() b P ()()()PQR ab// ab =  (P )= ( Q ) a a , b , c dong quy ()()////P= R b a b c ()()Q= R c ()()P= Q d ab dab//// ab// a( P ), b  ( Q ) a//,// c b c d a() d b ab// §2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a / / ( P ) a  ( P ) =  song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không dP () nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) d/ / a d / /( P ) thì đường thẳng d song song với aP () mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) aP/ /( ) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. a ()// Q d a ()()P= Q d ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của ()()P= Q d chúng song song với đường thẳng đó. ()////P a d a ()//Qa 1 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
2. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 §3. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. (PQPQ ) / /( ) ( )  ( ) =  II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường a,() b P thẳng a, b cắt nhau và cùng song a b = I ( P ) / /( Q ) song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. a/ /( Q ), b / /( Q ) ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm ở một trong hai mặt phẳng song song (PQ ) / /( ) thì song song với mặt phẳng kia. aQ/ /( ) aP () ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song (PQ ) / /( ) song. ()()//R P = a a b ()()R= Q b B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. a⊥ mp(),() P a ⊥ c  c  P II. Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc d⊥⊥ a, d b với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì a,()() b mp P d ⊥ mp P đường thẳng d vuông góc với ab, caét nhau mp(P). 2 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
3. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Chú ý: • Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó . • Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 I. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa a⊥ mp() P ⊥mp()() Q mp P một đường thẳng vuông góc với a mp() Q một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và ()()PQ⊥ (Q) vuông góc với nhau thì bất ()()()P Q = d a ⊥ Q cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến a⊥( P ), a d của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và ()()PQ⊥ (Q) vuông góc với nhau và A là AP () một điểm trong (P) thì đường aP() thẳng a đi qua điểm A và vuông Aa góc với (Q) sẽ nằm trong (P) aQ⊥ () §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH 3 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
4. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng : • Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó . §4.GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì SS'= cos trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). 4 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
5. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC LỚP 10 I. TAM GIÁC abc++ 1. Tam giác thường: BC= a ; AC = b ; AB = c ; p = 2 11 abc ① S= BC. AH = AB . AC .sin A = = pr =p( p − a )( p − b )( p − c ) ABC 2 2 4R 1 2 A ② SSS== ③ AG= AM (G là trọng ABM ACM2 ABC 3 tâm) AB2+ AC 2 BC 2 G ④ Độ dài trung tuyến: AM 2 =− 24 2 2 2 ⑤ Định lí hàm số cosin: BC= AB + AC − 2 AB . AC .cos A B H M C a b c ⑥ Định lí hàm số sin: = = = 2R A sinABC sin sin 2. Tam giác đều ABC cạnh a : 2 a (canh) 3 a2 3 ① S == ABC 44 canh 33 a 23a B H C ② AH == ③ AG== AH 22 33 A 3. Tam giác ABC vuông tại A : 11 ① S== AB.. AC AH BC ABC 22 2 2 2 ② BC=+ AB AC B H C ③ BA2 = BH. BC ④ CA2 = CH. CB ⑤ HA2 = HB. HC ⑤ HA2 = HB. HC ⑥ AH.. BC= AB AC ⑦ 1 1 1 =+ AH2 AB 2 AC 2 HB AB2 1 AC ⑧ = ⑨ AM= BC ⑩ sin B = C HC AC 2 2 BC AB AC AB ⑪ cos B = ⑫ tan B = ⑬ cot B = BC AB AC 4. Tam giác ABC vuông cân tại A BC A B ① BC== AB22 AC ② AB== AC 2 A D II. TỨ GIÁC 1. Hình bình hành: Diện tích: SABCD == BC. AH AB . AD .sin A 2. Hình thoi: B H C 1 • Diện tích: S== AC. BD AB . AD .sin A ABCD 2 • Đặc biệt: khi ABC =60 hoặc BAC =120 thì các tam giác ABC , ACD đều. 3. Hình chữ nhật: D SABCD = AB. AD 4. Hình vuông: 2 • Diện tích: SABCD = AB C • Đường chéo: AC= AB 2 5 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
6. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 (AD+ BC ). AH 5. Hình thang: S = ABCD 2 Vấn đề 2. KHỐI ĐA DIỆN I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. ✓ Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. ✓ Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. ❖ Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. ❖ Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài của hình đa diện tương ứng. 6 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
7. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 d Miền ngoài Điểm trong N Điểm ngoài M Ví dụ - Các hình dưới đây là những khối đa diện: - Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: Hình a) Hình b) Hình c) Giải thích: Hình a) không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b) không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c) không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác. III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 1. Phép dời hình trong không gian ❖ Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. ❖ Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm N sao cho MN= v . Kí hiệu là Tv . 7 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
8. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm N sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MN . Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H ) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của . c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm N sao cho O là trung điểm của MN . Nếu phép đối xứng tâm O biến hình thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của d) Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm N sao cho d là trung trực của MN . Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d. Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H ) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của . Nhận xét Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. Phép dời hình biến đa diện thành đa diện (H ') , biến đỉnh, cạnh, mặt của thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H ') . Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD. A B C D . Khi đó: Các hình chóp AABCD. và C . ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp AABCD. biến thành hình chóp C . ABCD). Các hình lăng trụ ABC. A B C và AA D . BB C bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng ( AB C D) thì hình lăng trụ ABC. A B C biến thành hình lăng trụ AA D . BB C ). 8 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
9. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 A D A D B C B C (H ) O A' D' A' D' B' C' B' C' 2. Hai hình bằng nhau ❖ Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. ❖ Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này đa diện kia. IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện là hợp của hai khối đa diện (H1 ) và (H 2 ) sao cho và không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện thành hai khối đa diện và . Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện và để được khối đa diện . Ví dụ 1. Với khối chóp tứ giác S. ABCD , xét hai khối chóp tam giác S S. ABC và S. ACD. Ta thấy rằng: Hai khối chóp S. ABC và S. ACD không có điểm trong chung (tức A D là không tồn tại điểm trong của khối chóp này là điểm trong của khối B chóp kia và ngược lại). C Hợp của hai khối chóp S. ABC và S. ACD chính là khối chóp S.. ABCD Vậy khối chóp S. ABCD được phân chia thành hai khối chóp S. ABC và S. ACD hay hai khối chóp S. ABC và S. ACD được ghép lại thành khối chóp S.. ABCD Ví dụ 2. Cắt khối lăng trụ ABC. A B C bởi mặt phẳng ( A BC ) . Khi đó, A' B' khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện A ABC và C' A BCC B . Nếu ta cắt khối chóp A BCC B bởi mặt phẳng ( ABC ) thì ta chia khối chóp A BCC B thành hai khối chóp A BCB và A CC B . A B Vậy khối lăng trụ ABC. A B C được chia thành ba khối tứ diện là A ABC , A BCB và A CC B . C 9 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
10. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Ví dụ 3. Xét khối lập phương ABCD.'''' A B C D . Mặt phẳng ( BDD'' B ) chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.''' A B D và BCD.''' B C D . Ta chia tiếp khối lăng trụ ABD.''' A B D thành ba khối tứ diện: ADBB', ADB ' D ' và AA''' B D . Tương tự cho khối lăng trụ . Như vậy khối lập phương ABCD. A B C D ta có thể chia thành 6 khối tứ diện . MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt. Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh. Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh. Kết quả 6: Cho ()H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của là lẻ thì p phải là số chẵn. Chứng minh: Gọi M là số các mặt của khối đa diện . Vì mỗi mặt của có p cạnh nên M mặt sẽ pM có pM. cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của bằng C = 2 . Vì M lẻ nên p phải là số chẵn. Kết quả 7 (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho là đa diện có M mặt, mà các mặt của nó là những pM đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của là C = . 2 Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3M CM= ⎯⎯⎯→C chẵn. 2 Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn). 10 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
11. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 2: Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là: A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 3: Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 4: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? A. B. C. D. Câu 5: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ? A. 6. B. 10. C. 11. D. 12. 11 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
12. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Câu 6: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ? A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. Câu 7: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ? A. 11. B. 12. C. 13. D. 14. Câu 8: Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu cạnh? A. 21. B. 22 . C. 23 . D. 24. Câu 9: Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 12. D. 16. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD ( tham khảo hình vẽ ) . Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ? A. Miền ngoài của khối chóp S.ACD chứa tam giác SBC. B. O là điểm trong của khối chóp S.ACD. C. Đoạn thẳng AC thuộc miền trong của khối chóp S.ABCD. D. D là điểm ngoài của khối chóp S.ABC. Câu 11: Cho khối đa diện ABCD.A’B’C’D’ . M , N , P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AA’ , DD’ , CC’ ( hình vẽ ). Khẳng định nào sau đây là sai ? A. Trung điểm của đoạn MP thuộc miền trong của khối đa diện. B. Giao điểm của A’D’ và MN thuộc miền ngoài của khối đa diện. C. Đa giác A A’D’D và đa giác BB’C’C có điểm chung . D. Đa giác CC’D’D và đa giác ABCD có một cạnh chung. Câu 12:Vật thể nào sau đây là khối đa diện ? 12 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
13. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 13: Trong hình trên , có bao nhiêu vật thể là khối đa diện? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 14: Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ? Số đỉnh và số mặt của bất kì hình đa diện nào cũng: A. lớn hơn 4 . B. lớn hơn hoặc bằng 5 . C. lớn hơn 5 . D. lớn hơn hoặc bằng 4 . Câu 15: Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ? Số cạnh của một hình đa diện luôn luôn: A. lớn hơn 6 . B. lớn hơn 7 . C. lớn hơn hoặc bằng 6 . D. lớn hơn hoặc bằng 8 . Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh. B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau. C. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. D. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau. Câu 17: Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Câu 18: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng. A. 32CM= . B. CM=+2. C. MC . D. 32MC= . 13 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
14. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Câu 19: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.''' A B C . Về phía ngoài khối lăng trụ này ta ghép thêm một khối lăng trụ tam giác đều bằng với khối lăng trụ đã cho, sao cho hai khối lăng trụ có chung một mặt bên. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy cạnh? A. 9. B. 12. C. 15. D. 18. Hướng dẫn giải Chọn đáp án B. Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ đứng tứ giác nên có 12 cạnh Câu 20:Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Về phía ngoài khối chóp này ta ghép thêm một khối tứ diện đều có cạnh bằng a, sao cho một mặt của khối tứ diện đều trùng với một mặt của khối chóp đã cho. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy mặt? A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ tam giác nên có 5 mặt Câu 21: Tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng A. 0 B. 4 C. 6 D. 2 Hướng dẫn giải Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Câu 22: Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới). Câu 23: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 14 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
15. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 A. 4 mặt phẳng. B. 6 mặt phẳng. C. 9 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối. Câu 24: Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8 mặt phẳng. B. 9 mặt phẳng. C. 10 mặt phẳng. D. 12 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau). . Câu 25: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Hướng dẫn giải Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm: Câu 26: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi ( không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. 15 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
16. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Hướng dẫn giải Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm: 2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy. Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên. Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình chóp này có mặt đối xứng nào? A. Không có . B. (SAB). C. (SAC). D. (SAD). Hướng dẫn giải Ta có: BD⊥ ( SAC) và O là trung điểm của BD. Suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Suy ra (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất. Vậy chọn đáp án C. Câu 28: Gọi n1, n 2 , n 3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. n10, n 2 0, n 3 6. B. n10, n 2 1, n 3 9. C. n13, n 2 1, n 3 9. D. n10, n 2 1, n 3 3. Hướng dẫn giải Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác). Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện). Câu 29: Một hình hộp chữ nhật mà không phải hình lập phương thì có số trục đối xứng là: A. Có đúng 4 trục đối xứng. B. Có đúng 6 trục đối xứng. C. Có đúng 3 trục đối xứng. D. Có đúng 5 trục đối xứng. Câu 30: Phân chia khối lập phương ABCD. A B C D bởi ba mặt phẳng ( A BD) , (BBDD ) , (B CD ) ta được những khối đa diện nào? A. Hai khối tứ diện và một khối lăng trụ tứ giác. B. Ba khối tứ diện và một khối lăng trụ tam giác. C. Hai khối tứ diện và một khối lăng trụ tam giác. D. Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác. Câu 31:Phân chia khối lăng trụ ABD.' A B D bởi hai mặt phẳng ( AB D ) và ( AB D) ta được các khối nào sau đây? 16 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
17. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 A. Khối chóp tứ giác A. BDD B và khối tứ diện ABDB . B. Khối chóp tứ giác và khối tứ diện ADD B . C. Khối chóp tứ giác và khối tứ diện AA B D . D. Ba khối tứ diện , và . Câu 32: Mặt phẳng AB C chia khối lăng trụ ABC. A B C thành các khối đa diện nào? A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. B. Hai khối chóp tam giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Câu 33: Tìm số mặt của lăng trụ có 2020 đỉnh ? A.1010. B.1012 . C.1009 . D.1011. Câu 34: Tìm số mặt của của một hình chóp có 2020 cạnh? A.1010. B.1009 . C.1011. D.1012. Câu 35: Hình nào sau đây không có tâm đối xứng ? A. Hình cầu . B. Hình hộp chữ nhật. C. Tứ diện đều . D. Hình lập phương. Câu 36: Trong các hình sau đây : Hình lăng trụ tam giác đều ; Hình hộp ; Hình chóp tứ giác đều ; Tứ diện đều , có bao nhiêu hình có tâm đối xứng? A.1. B.2. C.3. D.4. Câu 37: Cho khối chóp có đáy là một thập giác. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Số mặt bên của khối chóp là 10. B. Khối chóp có số cạnh lớn hơn số đỉnh. C. Khối chóp có số mặt nhỏ hơn số đỉnh. D. Số đỉnh của khối chóp là 11. Câu 38: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Số đỉnh của một hình chóp luôn là một số chẵn. B. Số mặt của một hình lăng trụ luôn là một số chẵn. C. Số cạnh của một hình chóp luôn là một số chẵn. D. Số cạnh của một hình lăng trụ luôn là một số chắn. Câu 39: Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 33 . B. 31. C. 30 . D. 22 . Câu 40: Cho khối chóp có đáy là đa giác lồi n cạnh. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau. B. Số đỉnh của khối chóp bằng 21n + . C. Số mặt của khối chóp bằng 2n . D. Số cạnh của khối chóp bằng n +1. Câu 41: Cho một hình chóp có số đỉnh là 2018 , số cạnh của hình chóp đó là A. 2019 . B. 1009. C. 4036 . D. 4034 . Câu 42: Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây? A. 3000. B. 3001. C. 3005. D. 3007 . Câu 43: Hình chóp có 2020 cạnh thì có bao nhiêu đỉnh? A. 1010 . B. 1011 C. 2021 . D. 2020 . Câu 44: Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành hai khối lăng trụ A. ( A BC ) . B. ( ABC ) . C. ( AB C ) . D. ( A BD) . Câu 45: Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D '. Ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo véc tơ CC ' là: A. đoạn thẳng CD' '. B. đoạn thẳng DD ' 17 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
18. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 C. đoạn thẳng CD. D. đoạn thẳng AB' '. Câu 46: Người ta nối trung điểm các cạnh của một hình hộp chữ nhật rồi cắt bỏ các hình chóp tam giác ở các góc của hình hộp như hình vẽ sau. Hình còn lại là một đa diện có số đỉnh và số cạnh là: A. 12 đỉnh, 24 cạnh. B. 10 đỉnh, 24 cạnh. C. 12 đỉnh, 20 cạnh. D. 10 đỉnh, 48 cạnh. 18 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
19. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 Vấn đề 3. ĐA DIỆN LỒI, ĐA DIỆN ĐỀU I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc . Khi đó đa diện giới hạn được gọi là đa diện lồi. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều có p cạnh. Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt . Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại pq,  . Định lí Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại 3;3 Tứ diện đều 4 6 4  Khối lập phương 8 12 6 4;3 19 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN
20. totoannvt TÀI LIỆU HỌC TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 năm học 2021-2022 3;4 Bát diện đều 6 12 8  5;3 Mười hai mặt đều 20 30 12  Hai mươi mặt đều 12 30 20 3;5 Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại . Ta có: qĐ ==2C pM p ==3, q 3 qĐ==2C pM pM pM Xét tứ diện đều 3;3 → ⎯⎯⎯⎯⎯→=C = 6 & = Đ = 4. M = 4 2 q p ==4, q 3 qĐ==2CpM pM pM Xét khối lập phương 4;3 → ⎯⎯⎯⎯⎯→=C = 12 & = Đ = 8. M = 6 2 q p ==3, q 4 qĐ==2C pM pM pM Xét bát diện đều 3;4  ⎯⎯⎯⎯⎯→=C = 12 & = Đ = 6. M = 8 2 q Xét khối mười hai mặt đều pq==5, 3 qĐ==2 C pM pM pM 5;3 → ⎯⎯⎯⎯⎯→=C = 30 & = Đ = 20. M =12 2 q Xét khối hai mươi mặt đều pq==3, 5 qĐ==2 C pM pM pM 3;5 → ⎯⎯⎯⎯⎯→ =C = 30 & = Đ = 12. M = 20 2 q HÌNH KHAI TRIỂN CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU pq,  20 HÌNH HỌC – CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN