Tài liệu học tập Toán 12 - Chương: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi

Nội dung tài liệu: Tài liệu học tập Toán 12 - Chương: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Năm học 2021-2022 - Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi

1. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 1. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản 1. c ' 0 2. x ' 1 n n 1 n n 1 3. x n. x n ; n 1 4. u n. u . u n ; n 1 1 u 5. x ,  x 0 6. u ,  u 0 2 x 2 u 1 1 1 u 7. 8. 2 , x 0 2 , u 0 x x u u 9. k. x k 10. k.. u k u ( k là hằng số) 11. 12. cosx sin x cosu u sin u 13. 14. sinx cos x sinu u .cos u 1 2 u 2 15. tanx 1 tan x 16. tanu u 1 tan u cos2 x cos2 u 1 2 u 2 17. cotx 1 cot x 18. cotu u 1 cot u sin2 x sin2 u 2 2 ax b ad bc a x bx c ab12 abx 21 2 ac 12 acx 21 bc 12 bc 21 19. 20. 1 1 1 2 2 2 cx d 2 cx d a2 x b 2 x c 2 a x b x c 2 2 2 2. Quy tắc tính đạo hàm Cho các hàm số u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1. u v u v 2. u v u v 3. u. v u v v u u u v v u 1 v 4. 2 2 v v v v Mở rộng: 1. 2. u1 u 2 ... un u 1 u 2 ... u n u. v .w u . v .w u . v .w u . v .w Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f u x f u với u u x . Khi đó: y y . u x u x BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa tính đồng biến , nghịch biến của hàm số : Cho hàm số y fx( ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.  Hàm số y fx( ) đồng biến (tăng) trên K nếu  xx1,, 2 Kxx 1 2 fx 1 fx 2 .  Hàm số y fx( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu  xx1,, 2 Kxx 1 2 fx 1 fx 2 . Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K . 2. Định lý: Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y fx( ) có đạo hàm trên khoảng K .  Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì fx 0,  xK .  Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì fx 0,  xK . ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1
2. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y fx( ) có đạo hàm trên khoảng K .  Nếu fx 0,  xK thì hàm số đồng biến trên khoảng K .  Nếu fx 0,  xK thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .  Nếu fx 0,  xK thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý. Nếu fx 0,  xK ( hoặc fx 0,  xK ) và f x 0chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). BÀI TẬP Vấn đề 1. Xét tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp . B1. Tìm tập xác định của hàm số y fx( ) B2. Tính đạo hàm f'( x ) và tìm các điểm sao cho = 0 hoặc không xác định . x0 f'( x0 ) f'( x0 ) B3. Lập bảng xét dấu f'( x ) , nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu f x 0  x a ; b thì hàm số y f x đồng biến trên a;. b B. Nếu f x 0  x a ; b thì hàm số y f x đồng biến trên a;. b C. Hàm số y f x đồng biến trên a; b khi và chỉ khi f x 0  x a ; b . D. Hàm số y f x đồng biến trên a; b khi và chỉ khi f x 0  x a ; b . Câu 2: Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0;2 thì hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng nào? A. 0;2 . B. 0; 4 . C. 0;1 . D. 2;0 . Câu 3: Cho hàm số y f() x có đạo hàm trên và f'( x ) 0  x (0; ). Biết f (1) 2 . Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra? A. f(2018) f (2019). B. f ( 1) 2 . C. f (2) 1 . D. f(2) f (3) 4 . Câu 4: Cho hàm số có đạo hàm trên sao cho Biết . Hỏi mệnh y f() x  f' x 0,  x 0. e  2,718 đề nào dưới đây đúng? A. f e f f 3 f 4 . B. f e f 0. C. f e f 2 f 2 . D. f 1 f 2 2 f 3 . Câu 5: Cho hàm số f x x4 2 x 2 1 và hai số thực u, v 0;1 sao cho u v. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f u f v . B. f u f v . C. f u f v . D. Không so sánh f u và f v được. Câu 6: Cho hàm số f x x3 x 2 8 x cos x và hai số thực a, b sao cho a b. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f a f b . B. f a f b . C. f a f b . D. Không so sánh được f a và f b . ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2
3. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Câu 7: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. Hàm số f đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 và 2; . \ 2 B. Hàm số f đồng biến trên   . C. Hàm số f đồng biến trên ; 2 . D. Hàm số f đồng biến trên 2; . Câu 8: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 2; . B. Hàm số đã cho đồng biến trên ; 1  1;2 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;2 . D. Hàm số đã cho đồng biến trên 2;2 . Câu 9: Cho hàm số y fx( ) có fx'( ) 0,  x 1;4 và fx' 0,  x 0;3 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số f nghịch biến trên 1;4 . B. Hàm số f đồng biến trên 1;0 . C. Hàm số f nghịch biến trên 3;4 . D. Hàm số f không đổi trên 0;4 . Câu 10: Cho hàm số y fx( ) đồng biến trên khoảng 3;7 ; nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi với x1, x 2 nhận giá trị nào được liệt kê dưới đây để (xx1 2 )( fx ( 1 ) fx ( 2 )) 0 A. x1 0, x 2 1. B. x1 5, x 2 1. C. x1 6, x 2 1. D. x1 4, x 2 5. Câu 11: Cho hàm số y fx( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;0) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;2) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) . 3 x 2 Câu 12: Cho hàm số y x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ;1 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên 1; và nghịch biến trên ;1 . D. Hàm số đã cho đồng biến trên ;1 và nghịch biến 1; . ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3
4. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Câu 13: Hàm số y x3 3 x 2 9 x m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây? A. 1;3 . B. ; 3 hoặc 1; . C. . D. ; 1 hoặc 3; . x 1 Câu 14: Cho hàm số y . Khẳng định nào sao đây là khẳng định đúng? 1 x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . ;1  1; B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1  1; . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và . ;1 1; D. Hàm số đồng biến trên các khoảng và . ;1 1; Câu 15: Hàm số y 2 x 4 1 đồng biến trên khoảng nào? A. 1 . B. . C. 1 . D. . ; 0; ; ; 0 2 2 Câu 16: Cho hàm số y 2 x4 4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . C. Trên các khoảng ; 1 và 0;1 , y ' 0 nên hàm số đã cho nghịch biến. D. Trên các khoảng 1;0 và 1; , y ' 0 nên hàm số đã cho đồng biến. Câu 17: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? A. y x3 3 x 2 4. B. y x3 x 2 2 x 1. 4 2 C. y x 2 x 2. D. y x4 3 x 2 2 . Câu 18: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó? x 2 x 2 x 2 x 2 A. y . B. y . C. y . D. y . x 2 x 2 x 2 x 2 x2 3 x 5 Câu 19: Hỏi hàm số y nghịch biến trên các khoảng nào ? x 1 A. ( ; 4) và (2; ) . B. 4;2 . C. ; 1 và 1; . D. 4; 1 và 1;2 . Câu 20: Cho hàm số y 3 x2 x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;2 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 . C. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2;3 . Câu 21: Hàm số y x2 x 1 nghịch biến trong khoảng nào sau đây? A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . ; ; ; ; 2 2 2 2 Câu 22: Cho hàm số y x 1 4 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 5 1;4 . 1; . 2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 4
5. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 C. Hàm số đã cho nghịch biến trên 5 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên ;4 . . 2 x 2 Câu 23: Cho hàm số y sin x , x 0; . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2 7 11 11 7 11 7 7 11 7 11 A. . B. . C. .D. . ;; và ; 0; và ; 0; và ; 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 Câu 24: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? 2 x x A. y x 1 3 x 2. B. y . C. y . D. y tan x . x 2 1 x 1 Câu 25: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số y 2 x cos x đồng biến trên . B. Hàm số y x3 3 x 1 nghịch biến trên . 2x 1 C. Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng xác định. x 1 D. Hàm số y 2 x4 x 2 1 nghịch biến trên ;0 . 2 3 Câu 26: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 1 2 x . Hàm số y = f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 1;1 . C. 2; . D. 1;2 . Câu 27: Cho hàm số y f x xác định trên và hàm số y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số f đồng biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số f nghịch biến trên khoảng 2;1 . C. Hàm số f đồng biến trên khoảng 2; . D. Hàm số f nghịch biến trên khoảng ;1 . Câu 28: Cho hàm số y f x có đạo hàm f' x xác định, y liên tục trên và hàm số y f' x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên O 1 f 1; . -1 3 x B. Hàm số f đồng biến trên ; 1 và 3; . C. Hàm số nghịch biến trên -4 f ; 1 . D. Hàm số f đồng biến trên ; 1  3; . Câu 29: Cho hàm số y fx xác định và liên tục trên . Biết rằng  đồ thị của hàm số y f' x như hình vẽ. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?  A. y fx 1. B. y fx 1. C. y fx x. D. y fx x. Câu 30: Cho hai hàm số y fx và y gx xác định và liên tục ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5
6. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 trên . Biết rằng đồ thị hàm số y f' x  và y g' x như trong hình vẽ . Hàm số hx fx gx nghịch biến trong khoảng nào sau đây? A. 0;4 B. 1;7 C. ;0 D. 0; Câu 31: Cho hàm số y fx . Đồ thị hàm số y fx như hình bên . Hàm số gx f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. 0;2 . B. 1;3 . C. ; 1 . D. 1; . Vấn đề 2. Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên một khoảng. Phương pháp .  Lý thuyết cần nhớ : Cho hàm số y f(,) x m có tập xác định D, khoảng (;)a b D .  Hàm số nghịch biến trên (;)a b y 0,  x ( a ; b )  Hàm số đồng biến trên (;)a b y 0,  x ( a ; b ) Ghi nhớ: f x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K . mx n  Chú ý: Riêng hàm sốy thì: cx d . Hàm số nghịch biến trên (;)a b y 0,  x ( a ; b ) . Hàm số đồng biến trên (;)a b y 0,  x ( a ; b )  Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (;)a b :  Bước 1: Đưa bất phương trình f ( x ) 0 (hoặc f ( x ) 0 ), x (;) a b về dạng g()() x h m (hoặc g()() x h m ), x (;) a b .  Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g() x trên (;)a b .  Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.  Nếu hàm số f() x có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì: f( x ) m ,  x D min f ( x ) m . x D  Nếu hàm số f() x có giá trị lớn nhất trên tập D , thế thì f( x ) m ,  x D max f ( x ) m . x D  Dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức g( x ) ax2 bx c ( a 0) a 0 a 0 a) g( x ) 0,  x b)g( x ) 0,  x 0 0 a 0 a 0 c) g( x ) 0,  x d)g( x ) 0,  x 0 0  Phương trình 2 (a 0) có hai nghiệm thỏa : f x ax bx c 0 x1, x 2 a) b) x1 0 x 2 P 0 x1 0 x 2 P 0 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 6
7. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 0 0 0 x x 0 c) d) e) 1 2 0 x1 x 2 P 0 x1 x 2 0 P 0 x1 x 2 0 P 0 S 0 S 0 b c Trong đó : S x x ,. P x x . 1 2a 1 2 a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số y x3 mx 2 4 m 9 x 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ;? A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. 3 2 Câu 2: Hàm số y ax bx cx d đồng biến trên khi: a b 0; c 0 a b c 0 A. . B. . b2 3 ac 0 a 0; b2 3 ac 0 a b 0; c 0 a b 0; c 0 C. . D. . a 0; b2 3 ac 0 a 0; b2 3 ac 0 1 3 2 Câu 3: Cho hàm số y x mx 4 m 3 x 2019 . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m để 3 hàm số đã cho đồng biến trên . A. m 1 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 3 . m 3 2 Câu 4: Cho hàm số y x 2 x m 3 x m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số 3 đồng biến trên . A. m 4 . B. m 0 . C. m 2 . D. m 1. 3 x 2 2 Câu 5: Cho hàm số y m 2 m 2 x m 8 x m 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham 3 số thực m để hàm số nghịch biến trên . A. m 2 . B. m 2 . C. m 2 . D. m 2 . Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 1000;1000 để hàm số y 2 x3 3 2 m 1 x 2 6 m m 1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; ? A. 999. B. 1001. C. 998. D. 1998. 13 1 2 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x mx 2 mx 3 m 4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3. A. m 1; m 9 . B. m 1 . C. m 9 . D. m 1; m 9 . Câu 8: Cho hàm số y x4 2 m 1 x 2 m 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 . A. 1 m 2. B. m 2. C. m 1. D. 1 m 2. x m 2 Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y giảm trên các khoảng x 1 mà nó xác định . A. m 3 . B. m 3 . C. m 1. D. m 1. mx 2 m 3 Câu 10: Cho hàm số y với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên x m của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. 5 . B. 4 . C. Vô số. D. 3 . ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 7
8. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 x 1 Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng ;2 x m A. m 2 . B. m 1. C. m 2 . D. m 1. x 2 m 3 Câu 12: Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y đồng biến trên khoảng x 3 m 2 ; 14 . Tính tổng T của các phần tử trong S. A. T 9. B. T 5. C. T 6. D. T 10. Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số tanx 2 đồng biến trên khoảng m y 0; tanx m 4 m 0 A. B. m 2 C.1 m 2 D. m 2 . 1 m 2 Câu 14: Bất phương trình 2xxx3 3 2 6 16 4 x 2 3 có tập nghiệm là a; b . Tính T a b. A. T 2. B. T 4. C. T 5. D. T 3. Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Giả sử hàm số y f() x xác định trên tập hợp D và . DR xo D được gọi là một điểm cực đại của hàm số xo y f() x nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm sao cho và , xo a; b  D f()() x f xo . Khi đó được gọi là giá x a ; b \ x o  f x o trị cực đại của hàm số y f() x . được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số xo y f() x nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm sao cho và , xo a; b  D f()() x f xo . Khi đó được gọi là giá x a; b \ x o  f x o trị cực tiểu của hàm số y f() x . Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm thì y f() x xo f() x xo . f x o 0 Chú ý: Đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm . f x o xo f() x xo Hàm số có thể đạt cực trị tại một số điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 8
9. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các y f() x a; b xo khoảng và . Khi đó : a; xo xo; b f xo 0,  x a ; x o Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x . f x 0,  x x ; b o o o Nói một cách khác, nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua thì hàm số đạt cực tiểu tại . f x o xo xo f xo 0,  x a ; x o Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm x . f x 0,  x x ; b o o o Nói một cách khác, nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x qua thì hàm số đạt cực đại tại . f x o xo xo Minh họa bằng bảng biến thiên: Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm , và y f() x a; b xo f x o 0 có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm . f() x xo Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm . f x o 0 f() x xo Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm . f x o 0 f() x xo f'( x0 ) 0 Chú ý: Trong trường hợp f'( x ) 0 không tồn tại hoặc thì định lý 3 không dùng được. 0 f''( x ) 0 0 BÀI TẬP Vấn đề 1. Tìm cực trị của hàm số . Dạng 1 : Tìm cực trị bằng đồ thị hoặc bảng biến thiên Phương pháp: Dùng định lí 2, định lí 3 để đọc bảng biến thiên và đọc đồ thị. Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên với bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Câu 2: Cho hàm số y f() x có bảng biến thiên: x 1 0 1 y ' 0 + 0 0 + y 3 4 4 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số f đạt cực đại tại x 1 . B. Hàm số f đạt cực đại tại x 3 . C. Hàm số f đạt cực tiểu tại x 4 . D. Hàm số f đạt cực tiểu tại x 1. Câu 3: Cho hàm số y f() x xác định trên \ 0  , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9
10. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Hỏi hàm số f có mấy điểm cực trị ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 4: Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn và có y f() x 2;2 đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f() x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 2 . B. x 1. C. x 1 . D. x 2 . Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số y y f x y f x f' x có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 4 A. Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x 1. 2 B. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x 1. C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x 2. x -2 -1 O -1 D. Hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x 2 . Câu 7: -2 Hàm số y f x có đạo hàm f' x trên khoảng K . Hình vẽ bên là y f' x đồ thị của hàm số y f' x trên khoảng K . Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. x B. 1. -1 O 2 C. 2. D. 4. Câu 8: Cho hàm số y fx xác định trên và hàm số y f x y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y fx 2019 2020 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. O x C. 3. D. 4. Câu 9: Cho hàm số y fx có bảng biến thiên sau: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10
11. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Hàm số y fx có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 10: Cho hàm số y fx , bảng biến thiên của hàm số f' x như sau: x ∞ 1 0 1 +∞ +∞ +∞ 2 f'(x) 1 3 Số điểm cực trị của hàm số yfx 2 2 x là A. 7. B. 5. C. 3. D. 9. Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số y fx( ). Phương pháp giải Tìm tập xác định D của hàm số f . Tính f'( x ) . Tìm các điểm x0 D là nghiệm của phương trình f'( x ) 0 (nếu có) hoặc tại đó hàm f liên tục nhưng f'( x0 ) không tồn tại. Vận dụng điều kiện đủ 1 (lập bảng xét dấu f'( x ) ) hay điều kiện đủ 2 (tính f"( x ) ) để xác định điểm cực trị của hàm số. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số y f() x có đạo hàm f () x ( x 1)( x 2)(2 x 3)( 3 x 5) 4 . Hỏi hàm số y f() x có mấy điểm cực trị? A. 2. B. 3. C.4. D. 5. Câu 2: Cho hàm số y x3 3 x 2 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 . B. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 2 và đạt cực đại tại x 0 . C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 2 . Câu 3: Giá trị cực đại của hàm số 3 là yCD y x 3 x 2 A. . B. . C. . D. yCD 4 yCD 1 yCD 0 yCD 1. Câu 4: Gọi lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 3 . Mệnh đề nào yCD, y CT y x 3 x sau đây là đúng? 3 A. y 2 y . B. y y . C. y y . D. y y . CT CD CT2 CD CT CD CT CD Câu 5: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 3 x 2 4 là A. (2;4). B. (2;0). C. (0; 4). D. (0;4). ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 11
12. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 2 Câu 6: Cho hàm số f x x 2 3 . Giá trị cực đại của hàm số f' x bằng: 1 A. 8 . B. . C. 8. D. 9 . 2 Câu 7: Cho hàm số y x4 2 x 2 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có ba điểm cực trị. B. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. C. Hàm số đã cho không có cực trị. D. Hàm số đã cho chỉ có một điểm cực trị. Câu 8: Cho hàm số y 3 x4 4 x 2 2019 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. B. Hàm số đã cho không có cực trị. C. Hàm số đã cho có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu . D. Hàm số đã cho có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Câu 9: Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số f x x4 2 x 2 3 1 A. S 2 . B. S 1. C. S 4. D. S . 2 Câu 10: Cho hàm số y x2 2 x . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. B. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 0 . C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 2 . D. Hàm số đã cho không có cực trị. Câu 11: Cho hàm số y x7 x 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị. B. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị . C. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. D. Hàm số đã cho có 4 điểm cực trị. 3 2 Câu 12: Hàm số y f( x ) 2 x2 1 x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. 2 Câu 13: Cho hàm sốy f x có đạo hàm f' x x2 x 1 x 4 . Khi đó số điểm cực trị của hàm số y f x 2 là A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Câu 14: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? A. y 10 x4 5 x 2 7. B. y 17 x3 2 x 2 x 5. x 2 x2 x 1 C. y . D. y . x 1 x 1 Câu 15: Hàm số nào sau đây không có cực trị? 2 3 2 4 2 x 1 A. y 2 x . B. y x 3 x . C.y x 2 x 3. D. y . x 1 x 2 Câu 16: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đúng 2 cực trị? A.y x4 3 x 2 2. B. y x3 5 x 2 7. 2 2x 1 6 4 C. y . D. y 2017 x 2016 x . 3x x2 3 x 3 Câu 17: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số y . Khi x 2 đó giá trị của biểu thức M2 2 n bằng: A. 8. B. 7. C. 9. D. 6. Câu 18: Tìm cực đại của hàm số y sin x cos x . A. 2 . B. 2 . 3 C. x k2 , k . D. x k2 , k , . 4 4 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12
13. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Câu 19: Gọi x, x lần lượt là điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số y sin2 x x trên đoạn 0; . CD CT Mệnh đề nào sau đây là đúng? 5 5 A. x ;. x B. x ;. x CD6 CT 6 CD6 CT 6 2 C. x ;. x D. x ;. x CD6 CT 3 CD3 CT 3 Câu 20: Tìm giá trị cực đại của hàm số trên khoảng . yCD y x 2cos x 0; 5 5 A. y 3 . B. y 3 . C. y 3 . D. y 3 . CD 6 CD 6 CD 6 CD 6 Vấn đề 2. Tìm điều kiện để hàm số f có cực trị. Phương pháp . Loại 1: Tìm m để hàm số có cực trị. Điều kiện để hàm số y ax3 bx 2 cx d (a 0 ) có cực trị Ta có y 3 ax2 2 bx c Hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b2 3 ac 0 . Điều kiện để hàm số y ax4 bx 2 c ( a 0) có cực trị Trường hợp 1: ab 0 hàm số chỉ có một cực trị. Cụ thể: a 0 f có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu . b 0 a 0 f có đúng một cực trị và cực trị là cực đại . b 0 Trường hợp 2: ab 0 hàm số ba cực trị. Cụ thể: a 0 a 0 f có hai cực tiểu và một cực đại f có một cực tiểu và hai cực đại . b 0 b 0 . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y m 2 x3 3 x 2 mx 6 có 2 cực trị . A. . B. . C. . D. . m 3;1 \ 2 m 3;1 m ; 3  1; m 3;1 Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y x3 2 x 2 m 3 x 1 không có cực trị. 8 5 5 8 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 4 2 3 Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x mx chỉ có cực tiểu mà 2 không có cực đại. A.m 1. B. 1 m 0. C.m 1. D. 1 m 0. Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y mx4 m 1 x 2 2 m 1 có 3 điểm cực trị . m 1 A. . B.m 1. C. 1 m 0 . D. m 1. m 0 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx4 m 1 x 1 2 m có đúng một điểm cực trị. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 13
14. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 A. . B. . m 1; m ;0 C. . D. . m 0;1 m ;0  1; Loại 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước. Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của y'( x0 ) 0 tham số . Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không? CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết M(0;2), N(2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax3 bx 2 +c x + d .Tính giá trị của hàm số tại x 2. A. y( 2) 2. B. y( 2) 2. C. y( 2) 18. D. y( 2) 18. Câu 2: Biết M 1; 6 là điểm cực đại của đồ thị hàm số y 2 x3 bx 2 cx 1 . Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đó. A. N 2;11 . B. N 2;21 . C. N 2;6 . D. N 2;21 . Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx 2 (2 m 3) x 3 đạt cực đại tại x 1 . A. m 3. B. m 3. C. m 3. D. m 3. 1 3 2 2 Câu 4: Cho hàm số y x mx m 4 x 5 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của 3 m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1. A. m 1. B. m 3 . C. m 1, m 3. D. 3 m 1. Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x4 ( m 1) x 2 3 đạt cực tiểu tại x 0 A. m 1. B.m 1 . C.m 1. D. m 1. Câu 6: Biết rằng đồ thị hàm số y ax4 bx 2 c a 0 có điểm cực đại A 0; 3 và có điểm cực tiểu B 1; 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? a 3 a 2 a 2 a 2 A. b 1 . B. b 4. C. b 4 . D. b 4 . c 5 c 3 c 3 c 3 Câu 7: Biết rằng đồ thị hàm số y x4 3 x 2 ax b có điểm cực tiểu là A 2; 2 . Tính tổng S a b. A. S 14 . B. S 14. C. S 20 . D. S 34. x2 mx 1 Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đạt cực đại tại x 2. x m A. m 1 . B. m 3 . C. m 1. D. m 3 . Vấn đề 3. Định tham số để hàm số có cực trị và thỏa mãn điều kiện cho trước. Hàm bậc 3 m 3 2 Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 2 x mx 1 có 2 điểm cực trị 3 thỏa mãn . xCĐ x CT A. m 2 . B. 2 m 0. C. 2 m 2 . D. 0 m 2 . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3( m 1) x 2 12 mx 3 m 4 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 14
15. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 có hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm 9 lập thành tam giác nhận gốc tọa C 1; 2 độ O làm trọng tâm. 1 1 A.m . B.m 2. C.m 2. D. m . 2 2 Câu 3: Gọi x, x là hai điểm cực trị của hàm số y x3 3 mx 2 3 m 2 1 x m 3 m . Tìm tất cả các 1 2 giá trị của tham số thực để 2 2 . m x1 x 2 x 1 x 2 7 A. m 2 . B. m 2 . C.m 0 . D. m 1. Câu 4: Cho hàm số yx 33 x 2 9 xm . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. A. y 8 xm . B. y 8 xm 3 . C. y 8 xm 3 . D. y 8 xm 3 . Câu 5: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2 x3 3 m 3 x 2 11 3 m có hai điểm cực trị , đồng thời hai điểm cực trị đó và điểmC 0; 1 thẳng hàng . A. m 4. B.m 1. C.m 3. D. m 2. Câu 6: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6 m 1 2 m x có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình y 4 x . 1  1  A.m 1 . B.m 0;1 . C.m 0; ; 1  . D. m  . 2  2  Câu 7: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số y x3 3 x 2 3 m 2 1 x 3 m 2 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O. m 1 6 m A. m 1. B. . C. . D.m 1. 6 2 m m 1 2 Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3 x 2 3 m 2 1 x 3 m 2 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O . 1 1 A. m . B.m . C.m 1. D.m 1. 2 2 Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3 mx 2 3 m 3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 . A.m 2 hoặc m 0 . B.m 2. C.m 2. D. m 2. 1 3 2 2 Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y x mx m 1 x có 3 hai điểm cực trị là A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y 5 x 9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S. A. 0. B.6. C. 6. D. 3. Câu 11: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y 2 m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3 x 2 1 . 1 3 1 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 4 4 3x2 13 x 19 Câu 12: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y là x 3 A. 5x 2 y 13 0. B. y 3 x 13. C. y 6 x 13. D. 2x 4 y 1 0. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15
16. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ điểm M 0;3 đến đường thẳng đi qua 3 2 hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 mx 1 bằng . 5 A. m 1, m 1. B. m 1 . C. m 3, m 1. D. Không tồn tại m . 13 2 4 Câu 14: Cho hàm số y x m 1 x 2 m 1 x với m 0 là tham số thực. Tìm giá trị của 3 3 m để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hoành. 1 3 4 A. m . B. m 1. C. m . D. m . 2 4 3 Câu 15: Cho hàm số 3 2 với là tham số thực, có đồ thị là . Tìm tất cả các y x 3 x mx m 2 m Cm giá trị của để có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. m C m A. m 2 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 2 . 1 3 2 Câu 16: Cho hàm số y x mx 2 m 1 x 3 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của 3 m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung. A. 1 B. C. D. 1 m ;1  1; . m 0;2 . m ;1  1; . m ;1 . 2 2 Câu 17: Cho hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6 mx m 3 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị AB, thỏa mãn AB 2 . A. m 0 . B. m 0 hoặc m 2 . C. m 1. D. m 2 . Hàm bậc 4 trùng phương Giả sử đồ thị hàm số 4 2 có cực trị: b b tạo thành y ax bx c 3 A(0; c ), B ; , C ; 2a 4 a 2 a 4 a tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab 0 . Đặt BAC 3 b 8 a Ta có : cos 3 . b 8 a MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0 Tam giác vuông cân tại 3 ABC A b 8 a Tam giác đều 3 ABC b 24 a 3 2 5 Tam giác có diện tích ABC SS ABC 0 32a ( S0 ) b 0 Tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp 2 ABC r ABC r b r 3 b 4a 1 1 8a Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RR ABC b3 8 a R 8 a b 2 Tam giác có độ dài cạnh ABC BC m0 am0 2 b 0 2 2 4 Tam giác có độ dài ABC AB AC n0 16a n0 b 8 ab 0 Tam giác có cực trị 2 ABC B, C Ox b 4 ac ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 16
17. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Tam giác có góc nhọn 3 ABC 3 b(8 a b ) 0 Tam giác có trọng tâm 2 ABC O b 6 ac Tam giác có trực tâm 3 ABC O b 8 a 4 ac 0 Tam giác cùng điểm tạo thành hình thoi 2 ABC O b 2 ac Tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp 3 ABC O b 8 a 4 abc 0 Tam giác có là tâm đường tròn ngoại tiếp 3 ABC O b 8 a 8 abc 0 Tam giác có cạnh 3 2 2 ABC BC kAB kAC b. k 8 a ( k 4) 0 Đồ thị hàm số 4 2 cắt trục tại 4 điểm C: y ax bx c Ox 2 100 b ac phân biệt lập thành cấp số cộng 9 Câu 1: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số y x4 2 mx 2 2 m m 4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. m 0 A. Không tồn tại m. B. . C. 3 . D. . 3 m 3 m 3 m 3 Câu 2: Cho hàm số y x4 2 mx 2 m 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thưc m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm . A. m 4 . B. m 2 . C. m 3 . D. m 1. Câu 3: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số y x4 8 m 2 x 2 1 có ba điểm cực trị , đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64. A. Không tồn tại m. B.m 5 2. C.m 5 2. D.m 5 2. Câu 4: Cho hàm số 4 2 có đồ thị là . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để y x 2 mx 4 Cm m tất cả các điểm cực trị của đều nằm trên các trục tọa độ. Cm A. m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 , m 0 . Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2 mx 2 1 có ba điểm cực trị A 0;1 , B , C thỏa mãn BC 4 . A. m 4 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 2 . Câu 6: Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x4 2 mx 2 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. 1 1 A. m . B. m 1 . C. m . D. m 1. 3 9 3 9 Câu 7: Cho hàm số y 3 x4 2 m 2018 x 2 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 1200 . A. m 2018. B. m 2017. C. m 2017. D. m 2018. 1 4 2 Câu 8: Cho hàm số y x 3 m 1 x 2 m 1 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ 4 thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ. 2 2 1 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3 Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x4 2 mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. m 0. B. m 1. C. 0 m 3 4. D. 0 m 1. Một số hàm số khác ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17
18. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Câu 11: Cho hàm số y fx( ) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Gọi S tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số yfx ( 1) m có 5 điểm có cực trị. Tổng các giá trị của S bằng: A. 12. B. 9. C. 15. D. 18. Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3 x4 4 x 3 12 x 2 m có 7 điểm cực trị ? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. Bài 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT 1) Định nghĩa: Cho hàm số y fx( ) xác định trên D fx(), M  xD Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y fx trên D nếu: .  x0 Dfx, ( 0 ) M Kí hiệu: M max fx ( ) hoặc M max fx ( ) . x D D fx(), mxD  Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y fx trên D nếu: .  x0 Dfx, ( 0 ) m Kí hiệu: m min fx ( ) hoặc m min fx ( ) x D D 2) Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x trên D ta tính y ', tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: * Nếu hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên thì y f x a; b maxfx ( ) max{ fafb ( ), ( )}; min fx ( ) min{ fafb ( ), ( )} . [a;b] [a;b] * Nếu hàm số liên tục trên thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN y f x a; b ta làm như sau: B1: Tính và tìm các điểm mà tại đó triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm. y ' x1, x 2 ,..., xn y ' B2: Tính các giá trị . Khi đó : f( x1 ), f ( x 2 ),..., f ( xn ), f ( a ), f ( b ) maxf ( x ) max{ f ( x ),..., f ( x ), f ( a ), f ( b )} . x [;] a b 1 n minf ( x ) min{ f ( x ),..., f ( x ), f ( a ), f ( b )}. x [;] a b 1 n * Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T. * Cho hàm số y f x xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t u() x , ta tìm được t E với x D , ta có y g t thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E . * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 18
19. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của y hàm số này trên đoạn bằng: 4 2;3 A. 2. B. 3. 2 C. D. 4. 5. x -2 2 -3 O 3 -2 Câu 2: Tìm GTLN của hàm số 3 2 trên đoạn f x x 2 x 4 x 1 1;3 . 67 A. maxf x . B. maxf x 2. C. maxf x 7. D. maxf x 4. 1;3 27 1;3 1;3 1;3 1 Câu 3: Gọi M, m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số f x 2 x3 3 x 2 1 trên đoạn 2; . Tính 2 P M m . A. P 5 . B. P 1. C. P 4 . D. P 5 . Câu 4: Biết rằng hàm số f x x3 3 x 2 9 x 28 đạt GTNN trên đoạn 0;4 tại x . Tính 0 P x0 2019. A. P 4. B. P 2020. C. P 2022. D. P 2019. 4 3 2 Câu 5: Xét hàm số f x x 2 x x 3 trên 1;1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. Hàm số f có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và giá trị lớn nhất tại x 1 . B. Hàm số f có giá trị nhỏ nhất tại x 1 và giá trị lớn nhất tại x 1. C. Hàm số f có giá trị nhỏ nhất tại x 1 nhưng không có giá trị lớn nhất. D. Hàm số f không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x 1 . Câu 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 4 2 trên đoạn M m f x 2 x 4 x 10 0;2 . A. M 10; m 6. B. M 12; m 6. C. M 10; m 8. D. M 12; m 8. 9 Câu 7: Tập giá trị của hàm số f x x với x 2;4 là đoạn a; b . Tính P b a . x 13 25 1 A. P 6 . B. P . C. P . D. P . 2 4 2 2x2 x 1 Câu 8: Tìm GTLN M và GTNN m của hàm số f x trên đoạn 0;1 . x 1 A. M 2; m 1. B. M 2; m 1. C. M 1; m 2. D. M 2; m 2. 3x 1 Câu 9: Tìm GTLN M và GTNN m của hàm số f x trên đoạn 0;2 . x 3 1 1 1 1 A. M 5; m . B. M ; m 5. C. M ; m 5. D. M 5; m . 3 3 3 3 2 2 Câu 10: Tìm tập giá trị T của hàm số f x x với x 3;5 . x 38 526 38 142 29 127 29 526 A. T ; . B. T ; . C. T ;. D. T ; . 3 15 3 5 3 5 3 15 Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x 2 4 x . A. M 1. B. M 2. C. M 3. D. M 4. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 19
20. [email protected] TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 Năm học 2021-2022 Câu 12: Cho hàm số f x 2 x 14 5 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại x 7. B. Hàm số f đạt giá trị lớn nhất bằng 2 6. C. Hàm số f đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1. D. Hàm số f đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3. Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x x4 x 2 . A. M 2; m 0. B. M 2; m 2. C. M 2; m 2. D. M 2; m 0. Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x x 2 x 2 . A. m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 2. Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x x 1 3 x 2 x2 4 x 3 . 9 A. M 0. B. M 2. C. M 2. D. M . 4 39 2 1 Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x 2cos x cos x 3cos x . 2 2 A. m 24. B. m 12. C. m 9. D. m 1. sinx 1 Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x . sin2 x sin x 1 90 110 70 A. M 1. B. M . C. M . D. M . 91 111 79 Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x sin3 x cos2 x sin x 3 . 112 A. M 0. B. M 5. C. M 4. D. M . 27 Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x x2 4 x 5 trên đoạn . M 6;6 A. M 0. B. M 9. C. M 55. D. M 110. Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 trên đoạn là y x 9 x 24 x 68 1;4 A. 0 B. 52. C. 102. D. 48. Câu 21: Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . MN, f( x ) x 3 x 1 0; 4 Tính TMN 2 . 16 3 16 3 A. T . B. T 3 5 . C. T . D. T 5 9 3 Câu 22: Cho hàm số và có bảng biến thiên trên như sau: y f x 5;7 x y' y Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. minf x 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên 5;7 . 5;7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 20