1. Trang Chủ
    2. ›
  2. Tài Liệu Giáo Viên
    3. ›
  3. THPT
    4. ›
  4. Lớp 10
    5. ›
  5. Toán 10

Tài liệu học tập Toán 10 - Chương 1: Vectơ, Bài 1: Định nghĩa - Năm học 2021-2022

pdf 27 trang vantien 26/11/2025 1400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu học tập Toán 10 - Chương 1: Vectơ, Bài 1: Định nghĩa - Năm học 2021-2022", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdftai_lieu_hoc_tap_toan_10_chuong_1_vecto_bai_1_dinh_nghia_nam.pdf

Nội dung tài liệu: Tài liệu học tập Toán 10 - Chương 1: Vectơ, Bài 1: Định nghĩa - Năm học 2021-2022

  1. [email protected] Hình 10 – Chương I Năm học: 2021 - 2022 CHƯƠNG 1. VECTƠ BAØI ÑÒNH NGHÓA 1. 1. Khái niệm vectơ Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu   là AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ AB A ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B B. a Vectơ còn được kí hiệu là abx, , , y , ... khi không x cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Nhận xét. Ba điểm phân biệt A,, BC thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và  AC cùng phương. 3. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ    đó. Độ dài của AB được kí hiệu là AB , như vậy AB AB. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a b Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy  nhất sao cho OA a. 4. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và  điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là AA và được gọi là vectơ – không. Bài tập tự luận. Bài 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.   Chứng minh rằng MN QP . 1
  2. Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B '   sao cho BB' AG .   a) Chứng minh rằng BI IC   b) Gọi J là trung điểm của BB ' . Chứng minh rằng BJ IG . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho DM BN . Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của     CN, DB . Chứng minh rằng AM NC và DB QB . Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm   đối xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau MD , MN . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là    A. DE. B. DE . C. ED. D. DE. Câu 2. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh AB, , C ? A. 3. B. 6. C. 4. D. 9. Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Câu 5. Cho ba điểm AB, , C phân biệt. Khi đó:   A. Điều kiện cần và đủ để AB, , C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.   B. Điều kiện đủ để AB, , C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.   C. Điều kiện cần để AB, , C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.   D. Điều kiện cần để AB, , C thẳng hàng là AB AC. Câu 6. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?         A. MN và CB. B. AB và MB. C. MA và MB. D. AN và CA. Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ - không, cùng  phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4. B. 6. C. 7. D. 9. 2
  3. Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU  Câu 8. Với DE (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn ED được gọi là   A. Phương của ED. B. Hướng của ED.   C. Giá của ED. D. Độ dài của ED. Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?  A. AA 0. B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.  C. AB 0. D. 0 cùng phương với mọi vectơ. Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Câu 12. Cho bốn điểm phân biệt ABCD, , , . Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D   sau đây là điều kiện cần và đủ để AB CD ? A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành. C. AC BD. D. AB CD.   Câu 13. Cho bốn điểm phân biệt ABCD, , , thỏa mãn AB CD . Khẳng định nào sau đây sai?     A. AB cùng hướng CD. B. AB cùng phương CD.   C. AB CD . D. ABCD là hình bình hành. Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?         A. AB DC. B. OB DO. C. OA OC. D. CB DA. Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, NPQ , , lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?         A. MN QP. B. QP MN . C. MQ NP. D. MN AC . Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?     A. AC BD. B. AB CD.     C. AB BC . D. Hai vectơ AB, AC cùng hướng. Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. OA OC. B. OB và OD cùng hướng.     C. AC và BD cùng hướng. D. AC BD . 3
  4. Câu 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng?         A. MA MB. B. AB AC. C. MN BC. D. BC 2 MN . Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng?    a 3   a 3 A. MB MC. B. AM . C. AM a. D. AM . 2 2 Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD 60  . Đẳng thức nào sau đây đúng?        A. AB AD. B. BD a. C. BD AC. D. BC DA. Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?         A. AB ED. B. AB AF . C. OD BC. D. OB OE.  Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây đúng?         A. HA CD và AD CH . B. HA CD và AD HC .           C. HA CD và AC CH . D. HA CD và AD HC và OB OD .    Câu 24. Cho AB 0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB CD ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.    Câu 25. Cho AB 0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB CD ? A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. “Nếu có một bài toán bạn không giải được thì chắc chắn cũng có một bài toán khác dễ hơn mà bạn có thể giải được. Hãy tìm nó.” George Polya. 4
  5. BAØI TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ 2. 1. Tổng của hai vectơ   Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB a và BC b.  Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và  b là a b. Vậy AC a b. Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. B b a a C A a b b 2. Quy tắc hình bình hành    Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC. B C A D 3. Tính chất của phép cộng các vectơ Với ba vectơ ab,, c tùy ý ta có a b b a (tính chất giao hoán); ab ca bc (tính chất kết hợp); a 0 0 a a (tính chất của vectơ – không). 4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là a.     Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA, nghĩa là AB BA. Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0. 5
  6. b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a b , kí hiệu a b. Như vậy a b a b .    Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O,, AB tùy ý ta có AB OB OA. A O B Chú ý 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tùy ý A,, BC ta luôn có    AB BC AC (quy tắc ba điểm);    AB AC CB (quy tắc trừ). Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.   a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0.    b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0. Bài tập tự luận. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 300 và BC a 5 .       Tính độ dài của các vectơ AB BC , AC BC và AB AC . Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ.       a) Tính AB AD,, OA CB CD DA     b) Chứng minh rằng u MA MB MC MD không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u Bài 3: Cho năm điểm ABCDE,,,, . Chứng minh rằng      a) AB CD EA CB ED       b) AC CD EC AE DB CB Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng    a) BA DA AC 0     b) OA OB OC OD 0     c) MA MC MB MD . Bài 5: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,, CA AB . Chứng minh rằng    a) BM CN AP 0     b) AP AN AC BM 0       c) OA OB OC OM ON OP với O là điểm bất kì. 6
  7. Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ Câu 1. Cho ba điểm AB, , C phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?       A. AB AC BC. B. MP NM NP.       C. CA BA CB. D. AA BB AB. Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hai vectơ a, b cùng phương. B. Hai vectơ a, b ngược hướng. C. Hai vectơ a, b cùng độ dài. D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu. Câu 3. Cho ba điểm phân biệt ABC,, . Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. CA BA BC. B. AB AC BC.       C. AB CA CB. D. AB BC CA.   Câu 4. Cho AB CD . Khẳng định nào sau đây đúng?     A. AB và CD cùng hướng. B. AB và CD cùng độ dài.   C. ABCD là hình bình hành. D. AB DC 0.      Câu 5. Tính tổng MN PQ RN NP QR .     A. MR. B. MN. C. PR. D. MP. Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:       A. IA IB. B. IA IB. C. IA IB. D. AI BI. Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?       A. IA IB. B. IA IB 0. C. IA IB 0. D. IA IB. Câu 8. Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?         A. AB AC. B. HC HB. C. AB AC . D. BC 2 HC . Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?         A. AB BC. B. AB CD. C. AC BD. D. AD CB . Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?   A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA MB 0.    B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GC 0.    C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB CD CA. D. Nếu ba điểm phân biệt ABC,, nằm tùy ý trên một đường thẳng thì    AB BC AC . Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?        A. OA OB CD. B. OB OC OD OA.        C. AB AD DB. D. BC BA DC DA. 7
  8. Câu 12. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. AB BC DB. B. AB BC BD.       C. AB BC CA. D. AB BC AC.   Câu 13. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB OC .       A. OB OC BC. B. OB OC DA.        C. OB OC OD OA. D. OB OC AB. Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng?      A. AB BC CA. B. CA AB.      C. AB BC CA a. D. CA BC. Câu 15. Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?       A. AM MB BA 0. B. MA MB AB.       C. MA MB MC. D. AB AC AM. Câu 16. Cho tam giác ABC với M,, N P lần lượt là trung điểm của BC,, CA AB . Khẳng định nào sau đây sai?       A. AB BC CA 0. B. AP BM CN 0.       C. MN NP PM 0. D. PB MC MP. Câu 17. Cho ba điểm phân biệt ABC,,. Mệnh đề nào sau đây đúng?    A. AB BC AC. B. AB BC CA 0.        C. AB BC CA BC . D. AB CA BC. Câu 18. Cho tam giác ABC có AB AC và đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?       A. AB AC AH. B. HA HB HC 0.     C. HB HC 0. D. AB AC. Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?         A. AH HB AH HC . B. AH AB AH AC.        C. BC BA HC HA. D. AH AB AH . Câu 20. Gọi M,, N P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,, BC CA của tam giác ABC.   Hỏi vectơ MP NP bằng vectơ nào trong các vectơ sau?      A. AP. B. BP. C. MN. D. MB NB. Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với O tại hai điểm A và B. Mệnh đề nào sau đây đúng?     A. OA OB. B. AB OB. C. OA OB. D. AB BA. Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT, MT (T và T là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?     A. MT MT . B. MT MT TT . C. MT MT . D. OT OT . 8
  9. Câu 23. Cho bốn điểm phân biệt ABC,,,. D Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. AB CD AD CB. B. AB BC CD DA.         C. AB BC CD DA. D. AB AD CD CB. Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng  CA?         A. BC AB. B. OA OC. C. BA DA. D. DC CB. Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?        A. OA OC OE 0. B. OA OC OB EB.       C. AB CD EF 0. D. BC EF AD. Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi vectơ   AO DO bằng vectơ nào trong các vectơ sau?     A. BA. B. BC. C. DC. D. AC. Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?        A. OA OB OC OD 0. B. AC AB AD.         C. BA BC DA DC . D. AB CD AB CB. Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai?       A. DO EB EO. B. OC EB EO.         C. OA OC OD OE OF 0. D. BE BF DO 0. Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. GA GC GD BD. B. GA GC GD CD.         C. GA GC GD O. D. GA GD GC CD. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?      A. AC BD. B. AB AC AD 0.         C. AB AD AB AD . D. BC BD AC AB . Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ   Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính AB AC .     a 3 A. AB AC a 3. B. AB AC . 2     C. AB AC 2 a . D. AB AC 2 a 3.   Câu 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB a . Tính AB AC .     a 2 A. AB AC a 2. B. AB AC . 2     C. AB AC 2 a . D. AB AC a. 9
  10.   Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB 2. Tính độ dài của AB AC.     A. AB AC 5. B. AB AC 2 5.     C. AB AC 3. D. AB AC 2 3.   Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB 3, AC 4 . Tính CA AB .     A. CA AB 2. B. CA AB 2 13.     C. CA AB 5. D. CA AB 13.   Câu 35. Tam giác ABC có AB AC a và BAC 120  . Tính AB AC .     A. AB AC a 3. B. AB AC a.   a   C. AB AC . D. AB AC 2 a . 2   Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC . Tính CA HC .   a   3a A. CA HC . B. CA HC . 2 2   2 3a   a 7 C. CA HC . D. CA HC . 3 2 Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC 12. Tính độ dài   của vectơ v GB GC . A. v 2. B. v 2 3. C. v 8. D. v 4.   Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC 2 a và BD a. Tính AC BD .     A. AC BD 3 a . B. AC BD a 3.     C. AC BD a 5. D. AC BD 5 a .   Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB DA .     A. AB DA 0. B. AB DA a.     C. AB DA a 2. D. AB DA 2 a .   Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O. Tính OB OC .     A. OB OC a. B. OB OC a 2.   a   a 2 C. OB OC . D. OB OC . 2 2 10
  11. Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ    Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 . Xác định vị trí điểm M. A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM. B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. C. M trùng với C. D. M là trọng tâm tam giác ABC. Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức     MB MC BM BA là A. đường thẳng AB. B. trung trực đoạn BC. C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua A và song song với BC. Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức     MA MB MC MD là A. một đường tròn. B. một đường thẳng. C. tập rỗng. D. một đoạn thẳng.    Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB MC AB . Tìm vị trí điểm M. A. M là trung điểm của AC. B. M là trung điểm của AB. C. M là trung điểm của BC. D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM.    Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 . Mệnh đề nào sau đây sai?    A. MABC là hình bình hành. B. AM AB AC.      C. BA BC BM. D. MA BC. “Nếu được sống thêm một cuộc đời nữa, tôi lại làm Toán”. Simeon Denis Poision. 11
  12. BAØI TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ 3. 1. Định nghĩa Cho số k 0 và vectơ a 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a, cùng hướng với a nếu k 0, ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k.. a 2. Tính chất Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có k a b k a k b ; h k a h a k a ; h k a hk a ; 1.a a , 1 . a a . 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có    MA MB 2 MI . b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có     GA GB GC 3 MG . 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b 0 cùng phương là có một số k để a k b. Nhận xét. Ba điểm phân biệt A,, BC thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để   AB kAC. 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x h a k b. Bài tập tự luận. Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. 1    1  a) CB MA b) BA BC 2 2 1   3   c) AB 2 AC c) MA 2,5 MB 2 4 12
  13. Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a .     a) Chứng minh rằng u 4 MA 3 MB MC 2 MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. b) Tính độ dài vectơ u Bài 3: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ . Chứng minh rằng:    a) AC BD 2 IJ     b) OA OB OC OD 0      c) MA MB MC MD 4 MO với M là điểm bất kì Bài 4: Cho hai tam giác ABC và ABC1 1 1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1,, G 2 G 3 lần lượt là    trọng tâm tam giác BCA1,, ABC 1 ACB 1 . Chứng minh rằng GG1 GG 2 GG 3 0 Bài 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng     a) HA HB HC 2 HO     b) OA OB OC OH   c) GH 2 GO 0 Bài 6: Cho tam giác ABC với AB c,, BC a CA b và có trọng tâm G. Gọi DEF,, lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC,, CA AB .    Chứng minh rằng a2. GD b 2 . GE cGF 2 . 0 Bài 7: Cho tam giác ABC với các cạnh AB c,, BC a CA b . Gọi I là tâm đường tròn    nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA bIB cIC 0   Bài 8: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2MA 3 MB 0 Bài 9: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M,, NP sao cho    a) 2MA MB MC 0     b) NA NB NC ND 0     c) 3PA PB PC PD 0 Bài 10: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực ,  thoả mãn  0. Chứng minh   rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn IA  IB 0.    Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì MA  MB ().  MI   Bài 11: Cho tam giác ABC . Đặt a ABb, AC .  1    a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM ABCN, 2 BC 3    b) Hãy phân tích CM, AN , MN qua các véc tơ a và b .   c) Gọi I là điểm thỏa: MI CM . Chứng minh I,, AN thẳng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM 3 CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN 5 MN . G là trọng tâm tam giác ABC .     a) Phân tích các vectơ AM, BN qua các véc tơ AB và AC     b) Phân tích các vectơ GC, MN qua các véc tơ GA và GB 13
  14. Bài 13: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB 3 AMCD , 2 CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các      vectơ AN, MN , AG qua các véc tơ AB và AC   Bài 14: Chứng minh rằng AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Bài 15: Cho tam giác ABC , trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P AM BN CP sao cho . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng AB BC CA tâm. Bài 16: Cho lục giác ABCDEF . Gọi MNPQRS,,,,, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,,,,, BC CD DE EF FA . Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 17: Cho hai hình bình hành ABCD và AB' C ' D ' chung đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác BC' D và B' CD ' cùng trọng tâm. Bài 18: Cho tam giác ABC    a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA 3 IB 4 IC 0 .      b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA 3 MB 4 MC MB MA . Bài 19: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :     a) MA MB MA MC      b) MA MB k MA 2 MB 3 MC với k là số thực thay đổi Bài 20: Cho tứ giác ABCD . Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho     AM kAB, DN kDC . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. Bài 21. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu    thức sau đạt giá trị nhỏ nhất T MA MB MC Bài 22: Cho tam giác ABC và ABC' ' ' là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T AA' BB ' CC ' Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ   Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a. Tính 2OA OB . A. a. B. 1 2 a . C. a 5. D. 2a 2. Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a. Khẳng định nào sau đây sai ?     A. 3OA 4 OB 5 a . B. 2OA 3 OB 5 a .     C. 7OA 2 OB 5 a . D. 11OA 6 OB 5 a . 14
  15. Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?       A. IB 2 IC IA 0. B. IB IC 2 IA 0.       C. 2IB IC IA 0. D. IB IC IA 0. Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?  1    1   A. AI AB AC . B. AI AB AC . 4 4  1  1   1  1  C. AI AB AC. D. AI AB AC. 4 2 4 2 Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?  2    1   A. AG AB AC . B. AG AB AC . 3 3  1  2   2   C. AG AB AC. D. AI AB 3 AC . 3 2 3 Câu 6. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho        3AM 2 AB và 3DN 2 DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD,. BC  1  1   1  2  A. MN AD BC. B. MN AD BC. 3 3 3 3  1  2   2  1  C. MN AD BC. D. MN AD BC. 3 3 3 3 Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?         A. MN MD CN DC. B. MN AB MD BN.  1    1   C. MN AB DC . D. MN AD BC . 2 2 Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?  1    1   A. DM CD BC. B. DM CD BC. 2 2  1    1   C. DM DC BC. D. DM DC BC. 2 2 Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM AB và N là    trung điểm của AC. Tính MN theo AB và AC.  1  1   1  1  A. MN AC AB. B. MN AC AB. 2 3 2 3  1  1   1  1  C. MN AB AC. D. MN AC AB. 2 3 2 3 15
  16. Câu 10. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau    BM MN NC. Tính AM theo AB và AC.  2  1   1  2  A. AM AB AC. B. AM AB AC. 3 3 3 3  2  1   1  2  C. AM AB AC. D. AM AB AC. 3 3 3 3    Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC.   1    1  A. AB AM BC. B. AB BC AM. 2 2   1    1  C. AB AM BC. D. AB BC AM. 2 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó  1  1   1  1  A. AK AB AC. B. AK AB AC. 6 4 4 6  1  1   1  1  C. AK AB AC. D. AK AB AC. 4 6 6 4    Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.  1  1   1  1  A. AB AC BD. B. AB AC BD. 2 2 2 2   1   1   C. AB AM BC. D. AB AC BD. 2 2   Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a BCb,. AC Cặp vectơ nào sau đây cùng phương? A. 2a b , a 2 b . B. 2a b , a 2 b . C. 5a b , 10 a 2 b . D. a b,. a b    Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA MB MC. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Ba điểm CM,, B thẳng hàng. B. AM là phân giác trong của góc BAC . C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.   D. AM BC 0. Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng ?    1  A. GA 2 GI . B. IG IA. 3       C. GB GC 2 GI . D. GB GC GA. 16
  17. Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ?  2     A. GA AM. B. AB AC 3 AG . 3       C. GA BG CG. D. GB GC GM. Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?      A. AM MB MC. B. MB MC.     BC C. MB MC. D. AM . 2 Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai ?     A. AB 2 AM . B. AC 2 NC .    1  C. BC 2 MN . D. CN AC. 2 Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?   2     A. AB AC AG. B. BA BC 3 BG . 3       C. CA CB CG. D. AB AC BC 0.   Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA 2 IB . Mệnh đề nào sau đây đúng ?      CA 2 CB  CA 2 CB A. CI . B. CI . 3 3       CA 2 CB C. CI CA 2 CB . D. CI . 3 Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?           A. 2MA MB 3 MC AC 2 BC . B. 2MA MB 3 MC 2 AC BC .           C. 2MA MB 3 MC 2 CA CB . D. 2MA MB 3 MC 2 CB CA . Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?      1  A. AB AD 2 AO . B. AD DO CA. 2   1     C. OA OB CB. D. AC DB 2 AB . 2 Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?       A. AC BD 2 BC . B. AC BC AB.       C. AC BD 2 CD . D. AC AD CD. 17
  18. Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ?       A. AB BC AC. B. AB AD AC.        C. BA BC 2 BM . D. MA MB MC MD. Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ    Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA MB CA . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. M trùng A. B. M trùng B. C. M trùng C. D. M là trọng tâm của tam giác ABC.   Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA a, GB b . Hãy tìm m, n để có  BC ma nb. A. m 1, n 2. B. m 1, n 2. C. m 2, n 1. D. m 2, n 1. Câu 28. Cho ba điểm A,, BC không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ    MA xMB yMC. Tính giá trị biểu thức P x y. A. P 0. B. P 2. C. P 2. D. P 3. Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k 0. Tập hợp các điểm M thỏa mãn     đẳng thức MA MB MC MD k là A. một đoạn thẳng. B. một đường thẳng. C. một đường tròn. D. một điểm. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các     điểm M thỏa mãn MA MB MC MD là A. trung trực của đoạn thẳng AB. B. trung trực của đoạn thẳng AD. AC C. đường tròn tâm I, bán kính . 2 AB BC D. đường tròn tâm I, bán kính . 2 Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp     các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB MA MB là AB A. đường tròn tâm I, đường kính . 2 B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. đường trung trực đoạn thẳng IA. 18
  19. Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp     các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA MB MA 2 MB là A. đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực đoạn thẳng IA. D. đường tròn tâm A, bán kính AB. Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Ttập hợp các điểm M thỏa mãn     MA MB MA MC là A. đường trung trực của đoạn BC. B. đường tròn đường kính BC. a C. đường tròn tâm G, bán kính . D. đường trung trực đoạn thẳng AG. 3 Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng      thức 2MA 3 MB 4 MC MB MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a a a a A. R . B. R . C. R . D. R . 3 9 2 6    Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn MA MB MC 3 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. « Sức hấp dẫn của Toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu xao lãng các môn học khác ». Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 19
  20. BAØI HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ 4. 1. Trục và độ dài đại số trên trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e. Ta kí hiệu trục đó là O;. e O e M b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O;. e Khi đó có duy nhất một số k sao cho  OM ke. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.  c) Cho hai điểm A và B trên trục O;. e Khi đó có duy nhất số a sao cho AB ae.  Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB. Nhận xét.   Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB. Nếu hai điểm A và B trên trục O; e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a. 2. Hệ trục tọa độ a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ Oi;, j gồm hai trục O; i và O; j vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O; i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i j 1. Hệ trục tọa độ Oi;, j còn được kí hiệu là Oxy. y 1 j x O i O 1 Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ  Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA u và gọi A1, A 2 lần lượt là    hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA OA1 OA 2 và cặp số duy   nhất x; y để OA1 xiOA,. 2 yj Như vậy u xi yj. 20
Tài Liệu Liên Quan