Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x22 2 x 2 x 1 2 Câu 1: (1.5 điểm) Cho biểu thức: A1 2 2 3 2 . 2x 8 8 4 x 2 x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2:(1.5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 3: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố. b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( n N;2 n ) Câu 4: (1.5 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c Câu 5: (0.5 điểm)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : 1 a 1 b x = ; y = 1 aa2 1 bb2 Câu 6: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên đoạn OB lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a/ Tứ giác AMBD là hình gì? Vì sao? b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC. c/ Chứng minh: Ba điểm E, F, P thẳng hàng. -------------------------Hết------------------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD- ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM
2. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 8 . NĂM HỌC 2019 - 2020 Câu Nội dung Điểm Cho biểu thức: x22 2 x 2 x . 1 2 A1 2 2 3 2 2x 8 8 4 x 2 x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. a) xx 00 +)A được xác định 2 3 2 842 x x x 0 4(2) x x (2)0 x 4 0.25 x x 40 xx 00 2 (2 xx )(4 ) 0 2 xx 0 2 +) ĐKXĐ : xx 2; 0 * Rút gọn : x22 2 x 2 x 1 2 Ta có A1 2 2 3 2 2x 8 8 4 x 2 x x x x Câu 1 x2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (1.5đ) 2 2 2 2(x 4) 4(2 x ) x (2 x ) x (x2 2 x )(2 x ) 4 x 2 x 2 x 2 x 2 0.75 . 2(x22 4)(2 x ) x 2x2 x 3 42 x x 2 4 x 2 x (1)2(1) x x . 2(x22 4)(2 x ) x x( x2 4) ( x 1)( x 2) x 1 . 2(x22 4)(2 x ) x 2 x b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. x 1 * Z x +1 2x 2x + 2 2x Mà 2x 2x 2x 2 2x 1 x x = 1 hoặc x = -1 0.5 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) +) Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 2 a) x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2 - (2x)2 0.5 (1.5đ) = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 = x42 x 2020x 2020x 2020 0.5 = xx1x 22 x1 2020x x1 = x22 x 1 x x 2020 0.5 Tìm số tự nhiên n để: a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
3. Câu 3 b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( ) (2đ) a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài +)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0.5 +)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0.25 b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 0.5 =n(n-1)(n+1)  n2 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) 5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp) 0.25 và 5 n(n-1)(n+1) 5 Vậy B chia 5 dư 2 Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương 0.25 Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương a) Giải phương trình : b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : n N;2 n x2 9x 20 x 4 x 5 Ta có x2 11x 30 1 x 6 x 1 5 1 1 2 2 2 2 x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 0.25 x 13x 42 = x 6 x 7 ĐĐaKX : x b 4; x 5; xc 6; x 7 0,25 3 Phương trình btrở c thành a :a c b a b c 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 Câu 4 (1.5 đ) 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0.25 1 1 1 0,25 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13) Từ đó tìm được x=-13; x=2 và kết luận đúng 0.25 b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y 0.25 Từ đó suy ra a= ;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z =>A= ( ) ( ) ( ) 0.5 2x 2y 2z 2 x y z x z y
4. 1 Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0.25 Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = ; y = Ta có x,y > 0 và Câu 5 1 1 a a22 a 1 1 1 1 1 1 1 1 (0.5 đ) 1 a 1 1 1 1 x11 a a y 0.5 a2 a 2 a b 2 b 11 11 Vì a> b > 0 nên và . Vậy x < y. ab22 ab B C P M F O I E A D Câu 4 Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi(3đ) O là a/giao Gọi điểm O là của giao AC điểm và BD.của AC và BD. Chứng minhChứng PO là minh đường PO trung là đường bình củatrung MCA,bình của suy raMCA, PO // suy MA. ra PO // MA.0,75 0,75 Suy ra tứ giácSuy AMBD ra tứ giác là hình AMBD thang. là hình thang. 0,25 0,25 b/ Gọi I là giaob/ Gọi điểm I là của giao AM điểm và củaEF. AM và EF. IEA cân tại IEA I nên cân IEA tại I IAEnên; OAD cân; tạiOAD O nên cân OAD tại O nên ODA . . 0,5 0,5 0,5 0,5 Mà IAE ODAMà nên IEA OADnên . . Suy ra EF //Suy AC ra EF // AC c/ Chứng minhc/ Chứng IP là đườngminh IP trung là đường bình củatrung MACbình của nên IPMAC // AC nên IP // AC 0,5 0,5 Kết hợp vớiKết câu hợp b, suy với racâu E, b, F, suy P thẳng ra E, hàng.F, P thẳng hàng. 0,5 0,5 1 a 1 b 1 aa2 1 bb2 Câu 4 0,.5 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên ; OAD cân tại O nên . 0,5 Mà nên . 0,5 Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5
5. 0.25 Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 SuyB ra tứ giác AMBD Clà hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. 0,5 IEA cânP tại I nên ; OAD cân tại O nên . Mà nên . 0,5 M F Suy ra EF //O AC I c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 E A D IEA IAE OAD ODA IAE ODA IEA OAD Câu 4 0.5 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên ; OAD cân tại O nên . 0,5 Mà nên . 0,5 Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD.
6. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên ; OAD cân tại O nên . 0,5 Mà nên . 0,5 Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 B C P M F O Câu 4 0.25 (3đ) I a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 E SuyA ra tứ giác AMBDD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên ; OAD cân tại O nên . 0,5 Mà nên . 0,5 Suy ra EF // AC c/ ChứngIEA minh IAE IP là đường trung bình củaOAD MAC ODA nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 IAE ODA IEA OAD Câu 4 0.5 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên ; OAD cân tại O nên . 0,5 Mà nên . 0,5 Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5
7. Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/B Gọi I là giao điểm củaC AM và EF. IEA cân tại I nên ; OAD cân tại O nên . 0,5 Mà nên . 0,5 P Suy ra EF // AC M c/ ChứngF minhO IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 I Chú ý: E A D - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình. IEA IAE OAD ODA IAE ODA IEA OAD