Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN Năm học: 2020 - 2021 MÔN: TOÁN LỚ P 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang Câu 1. (4,0 điểm) 1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x22 2 x 2 x 1 2 2. Rút gọn biểu thức sau: A1 2 2 3 2 . 2x 8 8 4 x 2 x x x x Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sau 2 2 + = 4 3 2 3 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x 2 y . Câu 3. (4,0 điểm) 1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. 2. Chứng minh rằng: abcbca()( )()(2 cababc )()( 2 bacacb ) 2 Câu 4. (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 3. Chứng minh rằng: =+. AD2 AM 2 AN 2 Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ---------------Hết----------------
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm 2020 - 2021 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) x22 2 x 2 x 1 2 A1 Hướng dẫn giải (4.0 Câu 1 2 2 3 2 2x 8 8 4 x 2 x x x x điểm) Ta có : = 0,5 1 0.5 (2.0 điểm) = 0.5 = Kết luận : 0.5 x 0 ĐK: 0.25 x 2 Ta có 0.25 x2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 2 0.25 2 2(x 4) 4(2 x ) x (2 x ) x (2.0 điểm) x2 2 x 2 x 2 ( x 1)( x 2) x ( x 2) 2 4 x 2 ( x 1)( x 2) 2 2 2 2 2 0.5 2(x 4) ( x 4)(2 x ) x 2( x 2)( x 4) x x3 4 x 2 44 x x 2 x 1( x x 2 4)(1) x x 1 . 0.5 2(x2 4) x 2 2 x 2 ( x 2 4) 2 x x 1 Vậy A với . 0.25 2x (4.0 Câu 2 điểm) Đặt: 0.25 Phương trình đã cho trở thành: 0.5 1 a2 4 b 2 4 ab ( a 2 b ) 2 0 a 2 b 0 a 2 b (2.0 điểm) Khi đó, ta có: 0.5 . 0.5
3. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0.25 . 2 3 3 2 37 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.5 48 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.5 4 16 2 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 (2.0 điểm) 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: 0.5 (-1 ; 0) ,(1;2) KL . 0.25 (4 Câu 3 điểm) Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . 0.5 Khi đó: f (x ) ( x2 4).( 5 x ) ax+b Theo đề bài, ta có: 7 f(2) 24 2 a b 24 a 0.5 1 2 f( 2) 10 2 a b 10 (2.0 điểm) b 17 7 Do đó: f (x ) ( x2 4).( 5 x ) x+17 0.5 2 47 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f (x ) 5 x3 x 17. 0.5 2 Ta có: abcbca( )( )2 cababc ( )( ) 2 bacacb ( )( ) 2 0 (1) xz a 2 a b c x xy 0.25 Đặt: b c a y b 2 a c b z yz c 2 Khi đó, ta có: 2 xzxyyz 2 yzxzxy 21 2 0.5 (2.0 điểm) VT(1) .y . x ( x y )( x y ). z 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 ....()y2 x 2 x 2 y 2 z 2 0.5 2 2 2 2 4 12 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0.25 (x z ). y ( z y ). x ( x y ). z 4 4 4 11 (x2 y 2 ). z 2 ( x 2 y 2 ). z 2 0 VP (đpcm) 0.25 44 (1) KL: . 0.25
4. (7 Câu 4 điểm) A E B H F C D M N 1 (2,5 điểm) Ta có góc DAM = góc ABF ( cùng phụ với góc BAH AB = AD ( gt) 0,75 góc BAF = góc ADM = 90 0 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0.5 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác góc DAE = 90 0 (gt) 0.75 Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.5 Ta có (g.g) AB BH BC BH 0.75 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có Lại có góc HAB = góc HBC ( cùng phụ với góc AB) 0.75 2 (c.g.c) (2,5 điểm) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà =4 (gt) =4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE 0.5 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN 0.5 = = 3 CN MN AM MN (2.0 điểm) Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0.5 == hay = AN AB AN MN AN MN
5. 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 + CM 2 MN 2 + = + =22 = = 1 AM AN MN MN MN MN 0.5 (Pytago) 22 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.5 AM AN AM AN AD Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 5 (1 điểm) *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x R (1) 0,25 y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y R (2) = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2015 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2015 0,25 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2015 (3) Từ (1) ; (2) và (3) B ≥ 2.3 + 2015 B ≥ 2021 0,25 B = 2021 x = 1 và y = -3 0,25 Vậy Min B = 2021 x = 1 và y = - 3 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. .. Hết ..