Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (4.0 điểm) x4 2 x 2 1 x 2 3 Cho biểu thức M = x6 1 x 4 x 2 1 x 4 4 x 2 3 1. Rút gọn M 2. Tìm x để M ≥ 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M. Câu 2: (4.0 điểm) 1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p2 + a2 = b2 . Chứng minh a chia hết cho 12 1 2xy 1 2 2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 11 xy Chứng minh M = x22 +y -xy là bình phương của một số hữu tỷ. Câu 3: (4.0 điểm) 4 1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: (x y) 40x 1 2 2. Giải phương trình: 3x 2 x 1 3 x 8 16 . Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho MON=900 . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE 1. Chứng minh ΔMON vuông cân 2. Chứng minh: MN // BE và CK  BE 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh: KC KN CN + + =1 KB KH BH Câu 5: (2.0 điểm) Cho hai số không âm a và b thoả mãn a22 +b a+b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2020 ab S 2019 ab 11 ------------------Hết------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;, Số báo danh:. . . . . . . . . . .
2. UBND HUYỆN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: Toán Câu Nội Dung Điểm Cho biểu thức M = 4.0 đ 1. Rút gọn M x 4 2 x 2 1 x 2 3 2. Tìm x để M ≥ 1 6 4 2 4 2 x 1 x x 1 x 4 x 3 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M. x4 2 x 2 1 x 2 3 1. M = 2 4 242 2 2 (x 1) x x 1 xx 1 x 1 x 3 42 xx 2 1 1 = (x2 1) x 4 x 2 1 x4 x 2 11 x 2 4 2 2 4 2 0.5 x 2 x 1 x 1 x x 1 x4 2 x 4 1 x 4 x 2 1 = 2 4 2 21 2xy 4 1 2 (x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 1 11 xy 0.5 x4 x 2 x 2( x 2 1) x 2 = 2 4 2 2 4 2 42 (x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 xx 1 0.5 x2 Vậy M= với mọi x 0.5 xx42 1 x2 Câu 1 42 1 2. Để M ≥ 1 thì xx 1 0.25 x2 x 4 x 2 1 2 2 0.25 x 10 2 Do xx2 1 0,  0.25 2 Suy ra: x -1 = 0 0.25 Vậy x = ± 1 3. Ta có M= với mọi x - Nếu x=0 ta có M=0 1 0.25 - Nếu x 0, chia cả tử và mẫu của M cho x2 ta có M= 1 x2 1 x2 0.25 1 1 1 1 2 22 Ta có x 22 1 x 2 x 1 x 1 1 với mọi x . Nên ta x x x x 1 1 có M 1 với mọi x , dấu “=” xảy ra khi x 0 x = ±1. 1 0.25 x2 1 x x2 0.25 Vậy Mmax = 1 khi x = ±1 1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p2 + a2 = b2 . Chứng minh a chia hết cho 12. Câu 2 2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: . 4.0 đ Chứng minh M = x22 +y -xy là bình phương của một số hữu tỷ
3. 1. Ta có: p2 + a2 = b2  p2 = (b + a)(b - a) 2 2 Mà ước của p là 1; p và p 0.25 Do b + a > b – a với mọi a, b nguyên dương và p nguyên tố lớn hơn 3 Nên không xảy ra trường hợp b + a = b – a = p 0.25 b a p2 Do đó 2ap 2 1 (p 1)(p 1) (1) ba 1 0.25 Mà p nguyên tố và p > 3, suy ra p lẻ 0.25 nên p + 1 và p – 1 là hai số chẵn (2) Từ (1) và (2) suy ra (p + 1)(p -1) chia hết cho 8 0.25 Suy ra 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho 4 (3) 0.25 Lại có p nguyên tố và p > 3. Nên p không chia hết cho 3 và p2 là số chính phương lẻ. Do đó p2 chia 3 dư 1 2 Suy ra p – 1 chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho 3 0.25 Suy ra a chia hết cho 3 ( vì (2, 3) = 1) (4) Tư (3) và (4) suy ra a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm) 0.25 1 2xy 1 2 2. Ta có 1 1 2x 1 y 1 2 y 1 x 1 x 1 y 0.5 11 xy 31xy 1 y 2 x 2 xy 1 x 2 y 2 xy 1 xyxy xy 2 0.5 22 22 2 3xy 1 3 xy 1 Khi đó: M= x y xy x y 3 xy 3 xy ... 0.5 22 31xy Vì x, y Q nên là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ 0.5 2 (x y)4 40x 1 1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: 2 4.0 đ 2. Giải phương trình: 3x 2 x 1 3 x 8 16 1. Ta có: (1) 0 Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + 1 < 40x + 40y MON=90 0.5 4 Suy ra 41 (x y) 40xy 40 ΔMON Nên 16 < (x + y)4 và (x + y)3 < 40. Suy ra 2 < x + y < 4 0.5 Câu 3 Mà x, y nguyên dương; nên x + y = 3 (2)  0.5 Thay (2) vào (1) ta có: 40x + 1 = 34 x = 2, thay vào (2) tìm được y = 1 0.5 Vậy (x; y) = (2; 1) 22 2. -Ta có 32x x 138 x 16 323338 x x x 144 0.5 Đặt 3x 3 t 3 x 2 t 5;3 x 8 t 5. Ta có PT t 5 t2 t 5 144 2 4 2 2 2 tt 93 t 25 t 144 0 t 9 t 16 0 0.5 2 t 4 t 16 1 7 -Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x= 2 ; x= ; x= 0.5 3 3 -KL 0.5 Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M ( 0 < MB < MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE Câu 4 1. Chứng minh vuông cân 2. Chứng minh: MN // BE và CK BE. 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh:
4. KC KN CN + + =1 KB KH BH Hình vẽ: A M B O N 6.0 đ K D C E H 1. -Ta có BOC 9000 CON BON 90 ; 00 0.5 vì MON 90 BOM BON 90 BOM CON ABC -Ta có BD là phân giác góc ABC MBO CBO 450 2 BCD 0.5 Tương tự ta có NCO DCO 450 Vậy ta có MBO NCO 2 -Xét OBM và OCN có OB=OC ; 0.5 BOM CON ; OBM OCN OM ON *Xét MON có MON 900 ; OM ON MON vuông cân tại O 0.5 2. + OBM OCN MB NC; mà 0.25 AM BN AB=BC AB MB BC NC AM BN MB NC 0.25 AN BN Ta có AB//CD AB// CE NE NC 0.25 AM AN MN// BE ( theo định ký Ta- lét đảo ) MB NE 0.25 + Vì MN//BE BKN MNO 450 ( 2 góc đồng vị và có tam giác MON vuông 0.25 cân) NB NO BNK ONC ( vì có BNK ONC; BKN OCN 450 ) 0.25 NK NC Xét BNO; KNC có BNO CNK ; NB NO 0.25 BNO KNC NKC NBO 450 NK NC Vậy ta có BKC BKN CKN 450 45 0 90 0 CK  BE 0.25 3. -Vì KH//OM mà ON OM OK  KH NKH 900 , 0 0 0 0.5 mà NKC 45 CKH 45 BKN NKC CKH 45 Xét BKC có BKN NKC KN là phân giác trong của , mà 0.5
5. KC HC KH KN KH là phân giác ngoài của . KB HB KN BN 0.5 Chứng minh tương tự ta có KH BH 0.5 KC KN NC HC BN CN BH -Vậy ta có ... 1 KB KH BH HB BH BH BH Cho hai số không âm và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2.0 đ + Ta có a2 1 2 a ; b 2 1 2 b a 2 b 2 2 2 a 2 b a b 2 (do a22 b a b ) 0.5 Câu 5 1 1 4 + Chứng minh được với hai số dương xy, thì x y x y 0.5 2020 2020 1 1 4 + Do đó S 2019 2 2019 2 2020 0.5 a 1 b 1 a 1 b 1 + Kết luận: GTLN của S là 2020, đạt được khi ab 1. 0.5 Điểm toàn bài 20 đ Lưu ý khi chấm bài: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm. - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. a b a22 +b a+b 2020 ab S 2019 ab 11 BKC