Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải giúp học sinh giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Nguyễn Thị Thường

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải giúp học sinh giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Nguyễn Thị Thường

1. MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 1. Lời giới thiệu 2. Tên sáng kiến 3. Tác giả sáng kiến 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 7. Mô tả về bản chất sáng kiến Phần I. Mở đầu 1. Cơ sở lí luận 2. Cơ sở thực tiễn Phần II: Nội dung 1. Thực trạng và nguyên nhân 2. Các biện pháp dạy nâng cao chất lượng môn toán cho học sinh 3. Một số dạng toán và phương pháp giải cụ thể về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 4. Kết quả nghiên cứu Phần III. Kết luận 8. Những thông tin cần bảo mật 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được sau khi áp dụng đề tài 11. Danh sách các tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài 1
2. BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Môn toán là một bộ môn hết sức quan trọng trong nhà trường và cũng là môn học mà giáo viên phải đầu tư nhiều nhất. Nó đòi hỏi giáo viên vừa có năng lực chuyên môn vừa có nghệ thuật sư phạm thì mới có thể giảng dạy tốt. Hiện nay, tôi được phân công dạy môn toán lớp 9AB. Nỗi vất vả và chăn trở của tôi là chất lượng học tập môn toán đầu vào chưa cao, chất lượng đại trà thấp. Qua nghiên cứu vị trí, yêu cầu và chương trình toán lớp 9, tôi nhận thấy chương trình toán 9 là phần đặc biệt quan trọng hoàn thiện chương trình toán THCS và xây dựng nền móng vững chắc cho chương trình toán cấp 3. Dạy toán không khó nhưng làm cho học sinh yêu thích toán, giải toán, đọc hiểu được đề, giải quyết được đề đúng phương pháp là vấn đề quan trọng. Nhiều khi học sinh hiểu đề, phân tích được dữ kiện câu hỏi nhưng không trình bày được vì nhận thức không logic, suy luận không chặt chẽ. Với tình hình lớp tôi hiện nay, còn rất nhiều học sinh yếu, chưa tạo được sự hoạt động đồng bộ, sôi nổi, các em không hứng thú học toán làm cho học sinh sợ môn toán không tích cực làm bài tập ở lớp cũng như ở nhà. Làm bài với tính cách đối phó (chép bài bạn, nhờ gia đình giải sẵn, chép lời giải trong sách giải, ) dẫn đến tình trạng hổng kiến thức, mất căn bản. Làm thế nào để nâng cao chất lượng môn toán lớp 9 cho học sinh? Như vậy, nhiệm vụ đặt ra cho chúng ta là phải tìm cách nâng dần chất lượng trình độ học sinh của lớp 9 để các em có một số kiến thức căn bản vững chắc để được xét tốt nghiệp THCS và nhất là đạt kết quả cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Đề tài của tôi tập trung vào chất lượng đại trà. Đặc biệt có tính xây dựng ý thức ham học hỏi cho nhóm trung bình yếu. Trong thời gian có hạn tôi chỉ có thể nêu ra một số dạng toán và phương pháp giải thực hiện cho khóa học và trường mình đang giảng dạy nên không tránh được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và giáo viên có kinh nghiệm để sáng kiến được áp dụng trong phạm vi rộng và đem lại hiệu quả cao. 2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán và phương pháp giải giúp học sinh giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Nguyễn Thị Thường - Địa chỉ sáng tác sáng kiến: Trường THCS Trung Kiên. - Số điện thoại: 0333119264. E_mail: [email protected] 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thường 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn toán lớp 9. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: tháng 4 năm 2020. 2
3. 7. Mô tả về bản chất sáng kiến PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Cơ sở lí luận Môn toán là một trong những môn học chính trong nhà trường phổ thông. Đặc điểm cấu tạo chương trình với nội dung toán học có sự liên quan mật thiết, kết cấu chặt chẽ với nhau. Chúng sắp xếp theo một trình tự có logic từ đầu đến cuối, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp và sát với thực tế, gần gũi với đời sống. Do đặc thù của môn toán nên mỗi bước suy diễn phải chỉ ra căn cứ cụ thể đòi hỏi học sinh phải nắm vững cái trước để có cơ sở suy diễn vấn đề sau. Với những điều như vậy khi giải quyết vấn đề toán học phải có sự logic chặt chẽ, liên tục để đi đến kết quả cuối cùng. Giải một bài toán, tiếp thu một kiến thức mới tức là học sinh đã trải qua các thao tác tư duy: quan sát, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, cụ thể hóa. Do đó trong quá trình học toán học sinh luôn luôn phải suy nghĩ để hành động tìm ra giải pháp nhằm giải quyết những vấn đề chiếm lĩnh kiến thức mới. Quá trình đó đã rèn luyện khả năng phát triển tư duy trí tuệ ở học sinh. Phải nói môn toán là môn học đòi hỏi học sinh phải hoạt động, chịu khó suy nghĩ nhiều. Từ đó góp phần phát triển tư duy rất mạnh so với các môn học khác . Phần nhiều học sinh học tốt môn toán thì học tốt các môn học khác. Bỡi lẽ các em đã có những khả năng tư duy toán học thì cũng có thể đủ khả năng hiểu các vấn đề khác. Qua môn toán đã rèn lại cho các em những đức tính: chịu khó, cẩn thận, tỉ mỉ, thận trọng, chính xác, suy luận chặt chẽ . Có phương pháp làm việc khoa học, sắp xếp thứ tự hợp lý trước sau để giải quyết vấn đề. Đó là đặc trưng nổi bật của môn toán trong nhà trường phổ thông. 2. Cơ sở thực tiễn Môn toán trong chương trình THCS nói chung và lớp 9 nói riêng có 4 tiết/tuần. Ở mọi khối đều có tổ chức các cuộc thi học sinh giỏi và nhiều cuộc thi khác nhau, trong việc đánh giá xếp loại môn toán luôn có vai trò quyết định tới thành tích của mỗi học sinh. Với các em học sinh lớp 9 học tốt môn toán còn giúp các em có kết quả tốt khi thi vào lớp 10 (là một trong 3 môn luôn có trong mỗi kỳ thi). Trong những năm gần đây đã có sự quan tâm nhất định của gia đình và nhà trường tới sự phát triển của toán học trong nhà trường. Các thầy cô giáo luôn cố gắng trau dồi về kiến thức và phương pháp để thực hiện các giờ lên lớp một cách hiểu quả nhất. Một số em học sinh luôn cố gắng để đạt kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi và các kỳ thi khác, đặc biệt là kỳ thi vào lớp 10 THPT. Mặc dù vậy nhưng gần đây có càng nhiều các em không có thái độ tích cực trong việc học toán dẫn đến số học sinh giỏi giảm, học sinh yếu tăng cao, chất lượng đại trà có chiều đi xuống. Trước tình hình đó các đơn vị quản lý, giáo dục 3
4. (địa phương, gia đình, nhà trường, đoàn, khuyến học, đội thiếu niên) cần có những hoạt động thúc đẩy hoạt động học tập của các em. PHẦN II: NỘI DUNG 1. Thực trạng và nguyên nhân * Thực trạng: Qua khảo sát năng lực học toán của các em học sinh đầu năm chỉ gần 30% các em đạt TB trở lên. Ngay cả học sinh học khá lớp dưới hiện nay cũng vậy. Những tiết học toán ở đầu năm phải nói các em rất thụ động. Các em ít phát biểu, không học bài và làm bài tập ở nhà, viết chữ cẩu thả không cẩn thận. Kĩ năng tính toán, trình bày bài toán rất chậm. Từ đó dẫn đến chất lượng thấp. Sau đây là bản thống kê chất lượng học tập đầu năm lớp 9A, 9B (cả khối) của trường ở đầu năm học 2019-2020 như sau: Lớp Tổng số HS Trung bình trở lên Dưới trung bình 9A 32 10 (31,3 %) 22 (68,7%) 9B 30 3 (10 %) 27 (90%) Khối 9 62 13 (21%) 49 (79%) * Nguyên nhân : Sự phát triển tâm sinh lý theo lứa tuổi ảnh hưởng tới cách tiếp cận các vấn đề xung quanh trong đó có việc không còn hoàn toàn chịu sự hướng dẫn của người lớn trong công việc và học tập. Cùng với đó là các mối quan hệ rộng hơn, các em có nhiều sự quan tâm hơn thậm chí là thấy nhiều điều mới mẻ và thích thú hơn "việc học". Do thời gian nghỉ hè khá dài, thời gian đầu năm các em chưa chú tâm vào việc học, còn mải chơi. Trong năm học các em còn phải đối diện với tình hình bệnh dịch COVID 19 diễn biễn phức tạp, thời gian nghỉ do dịch cũng kéo dài, lịch học thay đổi liên tục, lịch thi cũng khó xác định... Một số em thì gia đình chưa quan tâm hoặc có bố mẹ đi làm ăn xa, các em ở với ông bà thường được nuông chiều hơn ở với bố mẹ. Với nhiều gia đình khi các em đã lớn cộng với điều kiện kinh tế nông thôn còn nhiều khó khăn, xung quanh chòm xóm, người thân có con em đi học đại học về vẫn không có việc làm ổn định dẫn đến quan điểm không cần cho con học lên cao hay muốn cho con chỉ cần học xong THCS là cho đi học nghề nên cũng không quan tâm nhiều đến việc học tập của con cái. 2. Các biện pháp dạy nâng cao chất lượng môn toán cho học sinh Biện pháp là cách thức, là con đường để tác động đến đối tượng. Tất cả các biện pháp không phải thực hiện có kết quả ngay, phải được từng bước tiến hành, theo 4
5. dõi kiểm tra sửa sai những lệch lạc thiếu sót trong suốt quá trình thực hiện. Do đó bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây: 2.1. Phương pháp dạy ở lớp: *Vấn đề dạy một tiết toán đạt tốt, học sinh nắm vững kiến thức của một tiết học thì việc đầu tư vào một giáo án là không thể thiếu được trong quá trình dạy học. Do đặc điểm của môn Toán là một môn học rất gần gũi với thực tế đời sống nên người giáo viên phải linh hoạt, sáng tạo trong từng tiết dạy của mình để làm nổi rõ sự kết hợp, gắn bó của Toán học với cuộc sống hàng ngày. Ngôn ngữ phải dễ hiểu để học sinh dễ nhìn nhận, chiếm lĩnh tri thức mới. Với phương pháp dạy học mới hiện nay, chúng ta cần thiết kế một hệ thống câu hỏi logic, gợi mở từ câu đầu tiên đến câu cuối cùng để học sinh tự tìm kiếm ra kiến thức mới. Từ đó kiến thức mới sẽ được học sinh khắc sâu, nhớ lâu và sẽ gây hứng thú trong học tập. Một vấn đề cần thiết nữa đặt ra là khi dạy một tiết học người giáo viên phải nắm bắt kịp thời số học sinh hiểu bài và chưa kịp hiểu bài. Từ đó có biện pháp giúp đỡ số học sinh chưa kịp hiểu bài. Sau mỗi tiết học đều phải có phần củng cố và luyện tập; bằng những câu hỏi trọng tâm, cơ bản tiết học người giáo viên phải quan sát từng đối tượng học sinh; chú ý đến học sinh yếu, cá biệt để nắm bắt tình hình tiếp nhận kiến thức trong nội dung bài học; bài luyện tập tại lớp cần được nâng dần từ dễ đến khó, từ những bài toán rất đơn giản đến phức tạp. Tóm lại trong quá trình dạy học sự nhiệt tình, chịu khó, tinh thần trách nhiệm của người giáo viên là đều không thể thiếu được để dạy nâng cao chất lượng học tập cho học sinh. Nhưng đó cũng chỉ là một mặt, là điều kiện cần nhưng chưa đủ để học sinh đạt chất lượng cao. Phải có sự kết hợp, vận dụng sáng tạo trong phương pháp dạy học nhất là phương pháp dạy học mới hiện nay. Người giáo viên cần chú ý trong từng trường hợp, từng đối tượng học sinh để học sinh tự lực của mình để có điều kiện phát triển khả năng tư duy, chiếm lĩnh kiến thức, rèn luyện kỹ năng kỹ xảo trong việc giải toán. 2.2. Phương pháp ra bài tập về nhà: 5
6. Môn Toán là môn học rất cần đến việc thực hành, luôn luôn phải có sự kết hợp với nhau giữa lý thuyết và thực hành. Qua thực hành mới củng cố được lý thuyết, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính toán và phát triển tư duy. Ở phạm vi SGK sau mỗi bài học đều có một lượng bài tập để học sinh thực hành, luyện tập nhưng đôi khi còn ít, hệ thống bài tập chưa đủ cho học sinh yếu tập làm quen từ những bài tập rất dễ để từng bước nâng dần giải những bài tập khó hơn. Do đó trong từng tiết dạy người giáo viên có thể ra thêm bài tập tùy tình hình lớp học để học sinh có điều kiện tiếp xúc với khâu thực hành và nội dung bài tập phong phú hơn. Nếu khâu thực hành làm ít thì rõ ràng kiến thức chóng quên hơn, lí thuyết không được khắc sâu đậm nét. Nói chung do đặc điểm của môn Toán là môn học không thể nói suông, nói và làm phải luôn đi song song với nhau. Vì vậy, cần thực hành để rèn luyện kỹ năng, khắc sâu kiến thức và phát triển tư duy. 2.3. Phương pháp kiểm tra bài tập về nhà: *Kiểm tra bài cũ, kiểm tra bài tập về nhà là việc rất cần thiết. Nếu chúng ta kiểm tra thường xuyên thì việc học bài cũ và làm bài tập ở nhà của các học sinh sẽ chu đáo hơn. Ngược lại, nếu bị xem nhẹ thì việc chuẩn bị bài tập, học bài cũ sẽ hạn chế và chất lượng học tập giảm rõ rệt. Do vậy kiểm tra bài cũ thường xuyên là biện pháp để học sinh tự giác học bài và làm bài ở nhà trước khi đến lớp. Từ đó tạo nên không khí lớp học nghiêm túc, trật tự, mọi học sinh đều ở tư thế chuẩn bị giáo viên sẽ kiểm tra mình . *Thời gian kiểm tra bài cũ ở đầu các tiết học rất có giới hạn, không thể kiểm tra hết được. Vì vậy muốn nắm được việc làm bài tập ở nhà của học sinh một cách toàn diện người giáo viên phải nghĩ ra kế hoạch phân công các tổ trưởng chịu trách nhiệm kiểm tra từng thành viên trong tổ ở đầu buổi học. Đầu tiết học các tổ trưởng báo cáo tình hình chuẩn bị bài tập ở nhà của từng tổ viên. Học sinh nào chưa làm bài tập ở nhà sẽ có biện pháp giáo dục hợp lý. Trong trường hợp học sinh không làm bài tập ở nhà 6
7. mà lên lớp mượn vở bạn chép cũng được báo lại và sẽ giáo dục nghiêm khắc hơn. Giải pháp nữa là giáo viên cùng với các em bầu cán sự bộ môn Đại số và hình học để chính những em này sẽ là hạt nhân: Thứ nhất có thể giải bài tập khó cho các bạn (nếu em giải được), chỉ đạo trong công tác kiểm tra việc làm bài của các bạn Thứ hai làm một cầu nối để thông tin lại về chất lượng giờ dạy của giáo viên (các em có hiểu bài không, phương pháp truyền đạt của thầy cô ...) *Sau khi các tổ trưởng báo cáo lại xong giáo viên mới kiểm tra bài cũ. Có như vậy trong từng tiết học mới sớm phát hiện được những học sinh lười học bài, lười làm bài tập giúp giáo viên sớm có biện pháp xử lý và tìm ra nguyên nhân cụ thể để sớm khắc phục. *Công tác đánh giá định kỳ (bài kiểm tra) nên ra 2 hoặc 3 đề trong một giờ kiểm tra giúp các em tính tự lực cánh sinh trong làm bài, sau khi chấm trả bài giáo viên nên lập bảng tổng hợp điểm : Giỏi Khá Tbình Yếu Kém để theo dõi chất lượng qua các bài kiểm tra để từ đó có biện pháp nâng cao chất lượng. Với kế hoạch kiểm tra bài tập ở nhà và đánh giá như trên, người giáo viên đã kiểm tra được toàn diện học sinh. Phải làm thường xuyên, liên tục mới thấy được kết quả nâng cao chất lượng rõ rệt tạo thành nếp thi đua học tập sôi nổi ở học sinh. Học sinh hứng thú học tập, giáo viên biết được các học sinh cá biệt của mình. Khi trở thành thói quen, giáo viên làm việc rất nhẹ nhàng nhưng đạt hiệu quả cao. Từ các báo cáo tổng quát đến cụ thể tình hình học tập của học sinh, giáo viên kịp thời nắm bắt được lỗ hổng của học sinh mà kịp thời sửa chữa. Tóm lại, những kế hoạch ở lớp, kế hoạch ra bài tập về nhà đến kế hoạch kiểm tra bài tập về nhà là những suy nghĩ tìm ra phương pháp làm việc của bản thân trong thời gian qua. Với những kế hoạch đó bản thân tôi đã làm nhiều năm và thấy chất lượng dạy học tăng rõ rệt. Nhưng dù sao thì tinh thần 7
8. trách nhiệm, tính nhiệt tình trong công tác, hăng say trong nghề nghiệp là không thể thiếu được trong quá trình giảng dạy, nó phải được xuất phát từ tâm của một nhà giáo. 2.4. Phương pháp phối hợp giữa giáo viên bộ môn với giáo viên chủ nhiệm, giáo viên bộ môn với gia đình, xây dựng mối tương quan "Gia đình - nhà trường - xã hội" trong quá trình giáo dục học sinh. Việc phối hợp giữa giáo viên bộ môn với giáo viên chủ nhiệm trong công tác dạy học cũng là điều cấn thiết. Giáo viên bộ môn phải trao đổi với giáo viên chủ nhiệm những học sinh cá biệt, học sinh lười để cùng hợp tác nhắc nhở; dùng đủ hình thức từ mềm dẻo đến cứng rắn hơn sao cho các em sửa chữa tiến bộ dần đà theo cả lớp. Cũng thông qua giáo viên chủ nhiệm, giáo viên bộ môn mới nắm được tình hình gia đình của những em cá biệt có hoàn cảnh khó khăn, gia đình buông lỏng hay ảnh hưởng của bạn bè xunh quanh . để có biện pháp phù hợp với từng hoàn cảnh khác nhau mang lại hiệu quả giáo dục cao hơn. Giáo viên chủ nhiệm cũng có trách nhiệm trao đổi với giáo viên bộ môn những học sinh cá biệt ở lớp mình, những học sinh có hoàn cảnh khó khăn để giáo viên bộ môn nắm bắt được tình hình trước, có cách xử lý khéo là liều thuốc chữa bệnh có hiệu quả nhất mang lại kết quả nhanh nhất. Còn vấn đề phối hợp giữa gia đình học sinh và nhà trường cũng không thiếu được; cụ thể là giữa giáo viên bộ môn, giáo viên chủ nhiệm và gia đình. Giáo viên có trách nhiệm báo về gia đình kịp thời những sai sót, lười biếng của học sinh cho gia đình biết (Thông qua trao đổi trực tiếp hay phiếu kiến nghị với gia đình hay lời phê, nhận xét trực tiếp vào vở bài tập của các em). Từ đó gia đình cho biết ý kiến, giáo viên mới tham khảo theo ý đó mà xử lý phù hợp. Những trường hợp vi phạm quá mức có thể báo cáo với liên đội, ban giam hiệu nhà trường, hội phụ huynh để phối hợp giáo dục các em. Tất cả những kế hoạch phối hợp nêu trên giúp chúng ta giáo dục các em một cách toàn diện. Phải có mối liên kết với nhau giữa tất cả các giáo viên 8
9. bộ môn, giáo viên chủ nhiệm, BGH và gia đình, xã hội đó là phương pháp "thế cờ vây " vào một mục tiêu, giải thích cho các em hiểu rằng việc học tập trước tiên là học cho chính mình. Buộc các em phải cố gắng vươn lên trong học tập bên cạnh đó có sự giúp đỡ của bạn bè, của thầy cô giáo, việc học trở thành rất cần thiết cho các em mang lại nhiều điều thú vị và bổ ích . Trong tình hình chất lượng học sinh hiện nay tất cả các môn nói chung và môn toán nói riêng, học sinh yếu kém càng ngày càng "nở ra", học sinh khá giỏi càng ngay bị "co lại". Là người giáo viên đứng trước tình hình đó phải trăn trở suy nghĩ tìm nguyên nhân chính, cơ bản dẫn đến kết quả nêu trên, để có biện pháp thích đáng, hữu hiệu, tìm ra giải pháp tối ưu nhất để nâng dần chất lượng, đảm bảo yêu cầu giáo dục theo kịp thời đại. 3. Một số dạng toán và phương pháp giải pháp cụ thể về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều cách giải như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đồ thị, Do thời gian có hạn nên trong sáng kiến này tôi chỉ tập chung vào 2 phương pháp đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Dạng 1: Giải hệ phương trình: Cách 1: Dùng phương pháp thế: *Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước Bước 1. Từ một phương trình đã cho (coi như phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình mới (chỉ có một ẩn). Bước 2. Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1). Cách 2: Dùng phương pháp cộng đại số: Phương pháp giải: Bước 1. Cộng hoặc trừ từng vế 2 phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới. Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế cho 1 trong 2 phương trình của hệ (vẫn giữ nguyên phương trình kia) Chú ý: Trường hợp 1: Nếu các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong 2 phương trình bằng nhau thì ta trừ 2 phương trình đó. Đối nhau thì ta cộng 2 phương trình đó. 9
10. Trường hợp 2: Nếu các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong 2 phương trình không bằng nhau và không đối nhau ta phải thực hiện biến đổi cùng nhân 2 vế các phương trình với một số nào đó để đưa về trường hợp 1. *Ví dụ mẫu: 2x y 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I): x 3y 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: (sử dụng phương pháp thế) y 3 2x y 3 2x y 3 2x Hệ phương trình (I) x 3y 4 x 3 3 2x 4 9 5x 4 y 3 2x y 3 2x y 1 5x 5 x 1 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1;1 . Cách 2: (sử dụng phương pháp cộng đại số) 2x y 3 5y 5 y 1 y 1 Hệ phương trình (I) 2x 6y 8 x 3y 4 x 3.1 4 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1;1 . x 2y 3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2x 3y 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: (sử dụng phương pháp thế) *Đối với ví dụ này nếu giải theo phương pháp thế học sinh thường hay mắc phải sai lầm khi rút ẩn x như sau: Từ x 2y 3 x 3 2y hoặc x 2y 3 *Cách giải đúng: x 2y 3 x 2y 3 x 2y 3 Hệ phương trình 2x 3y 4 2x 3y 4 2 2y 3 3y 4 x 2y 3 x 2y 3 x 1 y 6 4 y 2 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1;2 . Cách 2: (sử dụng phương pháp cộng đại số) Nếu nhân cả 2 vế của phương trình thứ nhất với 2 thì học sinh thường không mắc phải sai lầm, nhưng nếu nhân với (-2) thì khi thực hiện -4x – (-3y), học sinh không hay để ý và lấy 4x –(- 3y) nên dẫn đến sai lầm. *Cách giải đúng: 10
11. x 2y 3 2x 4y 6 y 2 Hệ phương trình 2x 3y 4 2x 3y 4 x 2y 3 y 2 y 2 x 2.2 3 x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1;2 . x 2y 3 2x 4y 6 y 2 y 2 Hoặc 2x 3y 4 2x 3y 4 x 2y 3 x 1 3x 2y 4 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 4x 3y 5 *Đối với ví dụ này dù làm theo cách nào thì những học sinh nắm kiến thức không chắc cũng sẽ dẫn đến sai lầm về dấu nên dẫn đến kết quả sai. Hướng dẫn giải: Cách 1: (sử dụng phương pháp thế) 3 3 y x 2 3x 2y 4 2y 3x 4 y x 2 2 Hệ phương trình 2 4x 3y 5 4x 3y 5 3 4x 3y 5 4x 3 x 2 5 2 3 3 3 y x 2 y x 2 y x 2 3 2 2 2 y x 2 y 1 2 9 1 1 x 2 4x x 6 5 x 6 5 x 1 x 2 2 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 2;1 . Cách 2: (sử dụng phương pháp cộng đại số) Đối với bài này giáo viên cần lưu ý học sinh khi nhân để hệ số của x hay của y bằng nhau hoặc đối nhau thì cần để ý đến nhân cả 2 vế của phương trình với số nhỏ nhất của BCNN của các hệ số. 3x 2y 4 9x 6y 12 x 2 x 2 Hệ phương trình 4x 3y 5 8x 6y 10 3x 2y 4 3.2 2y 4 x 2 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 2;1 . *Đối với cách này học sinh hay mắc phải sai lầm là chỉ nhân một vế của phương trình, vế kia không nhân nên dẫn đến kết quả sai. *Bài tập tự luyện dạng 1: 3x y 5 Bài 1: Giải hệ phương trình 4x 2y 8 2x 3y 4 Bài 2: Giải hệ phương trình 3x 4y 11 11
12. Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. *Phương pháp giải: Bước 1. Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (hoặc cộng đại số) Bước 3. Kết luận. *Ví dụ mẫu: 3 x 1 2 y 1 4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 4 x 2 3 y 1 5 *Đối với ví dụ này học sinh hay mắc phải sai lầm là nhân dấu sai nên kết quả sai Hướng dẫn giải: 3 x 1 2 y 1 4 3x 3 2y 2 4 3x 2y 1 Hệ phương trình (I) 4 x 2 3 y 1 5 4x 8 3y 3 5 4x 3y 10 Đến đây học sinh có thể giải hệ (I) theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số đều có kết quả là: x; y 1;2 x y 2 y x 1 3 Ví dụ 2: Giải hệ pt 2x y 1 y 2x 3 1 Hướng dẫn giải: x y 2 y x 1 3 xy 2x xy y 3 Hệ phương trình 2x y 1 y 2x 3 1 2xy 2x 2xy 3y 1 2x y 3 (II) 2x 3y 1 Đến đây học sinh có thể giải hệ (I) theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số đều có kết quả là: x; y 2;1 . Nhưng hướng học sinh giải theo phương pháp cộng đại số sẽ nhanh hơn. *Bài tập tự luyện dạng 2: 2 x 1 3 y 2 9 Bài 1: Giải hệ phương trình 3 x 1 y 6 x 2y 1 y 2x 2 7 Bài 2: Giải hệ phương trình x 2 2y y 2x 1 8 2 x y 3 y 1 7 Bài 3: Giải hệ phương trình 3 x 1 2y 6 3y x 2 x 3y 1 5 Bài 4: Giải hệ phương trình 3x 2 y y 3x 2 4 12
13. Dạng 3: Giải hệ pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ. *Phương pháp giải: Bước 1. Đặt điều kiện Bước 2. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình để đưa hệ phương trình về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý điều kiện của ẩn phụ. Bước 3. Sử dụng phương pháp thế giải hệ phương trình theo ẩn phụ. Bước 4. Với các giá trị của ẩn phụ tìm được thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm của hệ phương trình. Bước 5. Kết luận. *Ví dụ mẫu: 1 2 2 x y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 3 4 1 x y Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x 0; y 0 1 a x Đặt a,b 0 . 1 b y a 2b 2 Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành (*) 3a 4b 1 a 2 2b a 1 a 2 2b a 2 2b a 2 2b 1 1 3 2 2b 4b 1 6 6b 4b 1 10b 5 b b 2 2 1 Với a 1 1 x 1 (thỏa mãn) x 1 1 1 Với b y 2 (thỏa mãn) 2 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x; y 1;2 Lưu ý: Đối với hệ phương trình (*) có thể sử dụng phương pháp cộng đại số. 3 4 1 x 1 y 2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 1 2 4 x 1 y 2 3 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x 1; y 2 13
14. 1 a x 1 Đặt a,b 0 . 1 b y 2 3a 4b 1 3a 4b 1 Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành 4 4 a 2b a 2b 3 3 4 1 1 3 2b 4b 1 4 6b 4b 1 10b 5 b b 3 2 2 4 4 4 a 2b a 2b 4 1 a 2b 3 3 a 2b a 3 3 3 1 1 1 Với a x 1 3 x 4 (thỏa mãn) 3 x 1 3 1 1 1 Với b y 2 2 y 0 (thỏa mãn) 2 y 2 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 4;0 2 x 2 3 y 1 4 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 3 x 2 2 y 1 7 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x 2; y 1 x 2 a Đặt a,b 0 . y 1 b 2a 3b 4 2a 3b 4 Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành 3 7 3a 2b 7 b a 2 2 3 7 13 21 13 13 2a 3 a 4 a 4 a 2 2 2 2 2 2 a 1 (thỏa mãn) 3 7 3 7 3 7 b 2 b a b a b a 2 2 2 2 2 2 Với a = 1 suy ra x 2 1 x 2 1 x 3 (thỏa mãn điều kiện) Với b = 2 suy ra y 1 2 y 1 4 y 3 (thỏa mãn điều kiện) 2 x 2 3 y 1 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3;3 . 3 x 2 2 y 1 7 *Bài tập tự luyện dạng 3: 4x2 3y2 5 Bài 1: Giải hệ phương trình: 2 2 x 2y 4 14
15. 6 3 3 x y x 2y Bài 2: Giải hệ phương trình: 1 7 2 x y x 2y 7 x 2 2 y 1 1 Bài 3: Giải hệ phương trình: 3 x 2 y 1 6 Dạng 4: Tìm ĐK của tham số để hệ phương trình thỏa mãn ĐK cho trước. *Phương pháp giải: Bước 1. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình có ẩn là tham số. Bước 2. Giải phương trình tham số. Bước 3. Kết luận. *Ví dụ mẫu: m 1 x ny 3 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình . Tìm m, n để hệ phương trình có 2mx y 2 nghiệm x; y 1;2 Hướng dẫn giải: m 1 x ny 3 Hệ phương trình nhận cặp số x; y 1;2 là nghiệm của hệ 2mx y 2 m 1 .1 n.2 3 m 2n 2 m 2n 2 n 1 phương trình nên 2m.1 2 2 2m 2 2 m 0 m 0 n 1 m 1 x ny 3 Vậy với hệ phương trình nhận x; y 1;2 là nghiệm của m 0 2mx y 2 hệ phương trình. x 2y 3 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có 2x y m 2 nghiệm duy nhất x0; y0 với y0 x0. Hướng dẫn giải: x 2y 3 x 3 2y x 3 2y x 3 2y Ta có 2x y m 2 2x y m 2 2 3 2y y m 2 6 3y m 2 2m 7 x 3 2y x 3 8 m y 8 m 3 y 3 15
16. x 2y 3 2m 7 8 m Vậy hệ phương trình nhận x; y ; là nghiệm. 2x y m 2 3 3 x 2y 3 Mặt khác theo đề bài hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0; y0 2x y m 2 2m 7 8 m với y0 x0 nên 2m 7 8 m 3m 15 m 5 3 3 x 2y 3 Vậy với m = 5 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0; y0 với 2x y m 2 y0 x0. 2x 3y 2 m 6 Ví dụ 3: Cho hệ phương trình (m là tham số, m 0). Tìm điều x y m 2 kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0; y0 sao cho x0 y0 nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: 2x 3y 2 m 6 2x 3y 2 m 6 2x 3 x m 2 2 m 6 Ta có x y m 2 y x m 2 y x m 2 2x 3x 3 m 6 2 m 6 y x m 2 5x 5 m 12 y x m 2 12 x m 5 y x m 2 12 x m 5 2 y 5 2x 3y 2 m 6 Suy ra hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x y m 2 12 2 x0; y0 m ; với mọi m 0. 5 5 Mặt khác theo đề bài hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0; y0 12 2 14 Khi đó x y m m 0 0 5 5 5 14 14 14 Vì m 0 nên x y m 0 0 0 5 5 5 16
17. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi m =0 2x 3y 2 m 6 Vậy với m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x0; y0 x y m 2 thỏa mãn x0 y0 nhỏ nhất. x y m Ví dụ 4: Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm ĐK của m để 2x 5y 3m 6 hệ pt có nghiệm là các số nguyên. Hướng dẫn giải: x y m Giải hệ phương trình đã cho được nghiệm m y 2 3 Để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên thì m m 2 Z Z m 3k, k Z 3 3 Vậy với m 3k, k Z thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là các số nguyên. *Bài tập tự luyện dạng 4: 2 m 1 x 7 n 2 y 6 Bài 1: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm m 1 x n 2 y 12 x; y 1;2 x y 3 Bài 2: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm x; y sao cho 2x y 2a 5 x 2 y x y a 2 Bài 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y sao 3x 5y 2a cho x; y là các số nguyên. x my m 1 Bài 4: Cho hệ phương trình . Tìm số nguyên m sao cho hệ phương mx y 3m 1 trình có nghiệm duy nhất x; y mà x; y đều là số nguyên. 4. Kết quả nghiên cứu: Tất cả những học sinh nhất là học sinh yếu, trung bình có nhiều tiến bộ, tôi thường xuyên động viên khích lệ những tiến bộ dù nhỏ của các em. Các em cảm thấy hưng phấn khi được cô khích lệ, công nhận những tiến bộ của mình. Từ đó, các em càng cố gắng chăm học hơn. Đến giờ toán không chỉ các em học sinh khá, giỏi học mà cả các em học sinh yếu, trung bình cũng thích học tập. Đầu năm cả khối 9 có tới 49/62 học sinh dưới trung bình. Qua nghiên cứu và thực hiện các dạng toán và phương pháp giải, ví dụ mẫu, bài tập tự luyện về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở trên tôi nhận thấy các em đã có tiến bộ hơn 17
18. so với đầu năm, các chỉ số khảo sát đã có sự thay đổi. Cụ thể chất lượng sau khi áp dụng chủ đề này của 2 lớp 9A, 9B như sau: Lớp Tổng số học sinh Trung bình trở lên Dưới trung bình 9A 32 30 (93,8%) 2 (6,2%) 9B 30 15 (50%) 18 (50%) Khối 9 62 45 (72,6%) 17 (27,4%) PHẦN III: KẾT LUẬN Từ kết quả nghiên cứu trên tôi nhận thấy việc bồi dưỡng chất lượng đại trà toán 9 phải được thực hiện với một lòng yêu nghề và tâm huyết với học sinh. Các phương pháp thực hiện phải nhất quán và liên tục. Phương pháp nào cũng phải được kiểm chứng thường xuyên thông qua sự tiến bộ của học sinh về cả ý thức thái độ lẫn các đơn vị kiến thức, kỹ nằng cần đạt được. Qua thực tế giảng dạy, với cách dạy trên, tôi nhận thấy học sinh có nhiều tiến bộ, các em chăm chú thích học toán hơn. Học sinh tích cực, chủ động tìm tòi, sáng tạo xây dựng kiến thức của bài học. Nhờ vậy mà học sinh nắm bài nhanh, nhớ kiến thức lâu hơn, chắc chắn hơn và không khí tiết học sôi nổi, không gò bó. Từ đó học sinh có hứng thú học toán, tạo thành thói quen tự suy nghĩ, chủ động làm bài để tìm ra cách giải hay và nhanh nhất. Theo tôi việc nâng cao chất lượng dạy học không thể chỉ xét đến một mặt nào đó mà phải nhìn trên quan điểm toàn cục, đồng bộ trên mọi mặt. Về phía giáo viên phải có sự nhiệt tình, phải có năng lực, phải có đầu tư cao cho từng tiết dạy. Về phía học sinh đã đi vào quỹ đạo nội quy, trật tự, kỉ cương của lớp học, của nhà trường hay chưa, về phía gia đình đã thực sự quan tâm đến con em mình chưa?, xã hội (môi trường) của các em sống đã thực sự trong sạch chưa? Trong thời gian tới bản thân tôi sẽ cố gắng thực hiện đầy đủ, nhiều hơn nữa những gì đã chăn trở trước tình hình chất lượng môn toán hiện nay. Làm cho môn toán trở thành một môn học gần gũi với các em, “thực sự là môn thể thao trí tuệ”. Các em không ngại giải bài tập, xem đó là khâu thực hành cần thiết để giúp các em phát triển tư duy, trí tuệ, tính chịu khó, cần cù, làm đến nơi đến chốn không bỏ dở giữa chừng, không ngại khó. Tính suy luận có loogic, chính xác, chặt chẽ là cơ hội tốt nhất để rèn luyện bản thân, rèn luyện nhân cách của con người. để các em có một hành trang tri thức đầy đủ bước vào tương lai đầy niềm tin và hy vọng. 8. Những thông tin cần bảo mật: Không 18
19. 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Được sự ủng hộ của BGH nhà trường về không gian, thời gian. + Được sự ủng hộ của GVCN, các GV môn toán trong trường. + Đặc biệt được sự qua tâm của các bậc PHHS và các tổ chức đoàn, đội. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được sau khi áp dụng đề tài 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: + Giúp học sinh TB yếu củng cố và lấp lỗ hổng kiến thức đồng thời giúp học sinh khá nâng cao kỹ năng trình bày và giải bài tập khó. + Giúp học sinh học tốt hơn, nhanh hơn và hứng thú hơn với việc đi sâu vào tìm hiểu toán học. + Đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, khảo sát giữa kỳ, cuối kỳ (của trường – phòng – sở) và kỳ thi vào lớp 10 THPT. + Rèn tính cẩn thận, tỉ mỉ, rèn tư duy sáng tạo. 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của đồng nghiệp, phụ huynh, học sinh: + Học sinh ham học và có tính tự giác cao. + Từ chủ đề này các em có thể dễ dàng hình dung và tư duy thêm ở các chuyên đề khác như giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, đều là những chuyên đề thiết thực giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi vào lớp 10 THPT. + Các em có tư duy nhanh hơn khi học hay giải các bài tập khó trong các môn học khác. Đặc biệt các môn khoa học tự nhiên (tin, hóa, lí, sinh ). + Giúp các em cuối cấp có thái độ tích cực trong việc học các môn học khác để thi vào lớp 10 THPT. + Phát triển tư duy sẽ giúp các em giải quyết tốt hơn các vấn đề xung quanh, tự tin để bước tiếp trong công cuộc đổi mới không ngừng của đất nước. 11. Danh sách các tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài Số TT Tên tổ chức/ cá nhân Địa chỉ Phạm vi/ lĩnh vực áp dụng sáng kiến 1 Học sinh khối 9 trường THCS Xã Trung Kiên - Áp dụng cho môn Trung Kiên Yên Lạc - VP toán lớp 9 ..., Ngày tháng 3 năm 2021 Trung Kiên, Ngày tháng 3 năm 2021 Hiệu trưởng Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Thường 19
20. Yên Lạc, ngày tháng 3 năm 2021 HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) 20